Question

如圖所示，ABCD是表示折射率為n的透明長(zhǎng)方體，其四周介質(zhì)的折射率均為1，一單色光束以角度θ入射至AB面上的P點(diǎn)，AP=

AD

2

．
（1）若要此光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能直接射至AD面上，角θ的最小值是多少？
（2）若要此光束直接射到AD面上能在AD面上全反射，角θ應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)折射光線射到D點(diǎn)時(shí)，角θ最小，根據(jù)折射定律，結(jié)合幾何關(guān)系求出角θ的最小值．
（2）結(jié)合全反射的條件，以及折射定律和幾何關(guān)系求出角θ的范圍．

解答：解：（1）要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，折射光線射到D點(diǎn)時(shí)角θ最小，此時(shí)折射角也最小，設(shè)最小折射角為α，AP=d．如圖．
根據(jù)幾何關(guān)系有：
   sinα=

AP

AP2+AD2

=

d

d2+(2d)2

=

5

5

根據(jù)折射定律有：n=

sinθ

sinα

解得：角θ的最小值為 θ=arcsin

5

5

（2）如圖，要此光束在AD面上發(fā)生全反射，則要求射至AD面上的入射角β應(yīng)滿足：β≥C
 則sinβ≥sinC
又 sinC=

1

n

根據(jù)數(shù)字知識(shí)有：sinβ=cosα=

1-sin2α

=

1-( sinθ n )2

聯(lián)立以上三式得：

1-( sinθ n )2

≥

1

n

解得：θ≤arcsin

n2-1

所以要此光束直接射到AD面上能在AD面上全反射，角θ的范圍為：arcsin

5

5

＜θ≤arcsin

n2-1

．
答：
（1）若要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，角θ的最小值為arcsin

5

5

．
（2）若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，角θ的范圍是arcsin

5

5

＜θ≤arcsin

n2-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵掌握折射定律和全反射的條件，作出邊界光線，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需要加強(qiáng)訓(xùn)練．