Question

如圖，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向向里，其邊界是半徑為R的圓．AB為圓的一直徑．在A點(diǎn)有一粒子源向圓平面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量m、電量+q的粒子，粒子重力不計(jì)．（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）
（1）如果有一帶電粒子以垂直于磁場(chǎng)的速度，沿半徑方向進(jìn)入圓形區(qū)域的磁場(chǎng)中．試證明此粒子一定沿半徑方向射出磁場(chǎng)．
（2）如果磁場(chǎng)的邊界是彈性邊界，粒子沿半徑方向射入磁場(chǎng)，粒子的速度大小滿足什么條件，可使粒子在磁場(chǎng)中繞行一周回到出發(fā)點(diǎn)，并求離子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）如果R=3cm、B=0.2T，在A點(diǎn)的粒子源向圓平面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射速度均為10⁶m/s，比荷為10⁸c/kg的粒子．試畫出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡并求此粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（4）在（3）中，如果粒子的初速度大小均為3×10⁵米/秒，求磁場(chǎng)中有粒子到達(dá)的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)左手定則判斷出粒子偏轉(zhuǎn)的方向，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)軌跡的幾何關(guān)系進(jìn)行證明．
（2）粒子徑向射入磁場(chǎng)，必定徑向反彈，作出粒子的軌跡圖，通過幾何關(guān)系求出粒子的半徑，從而通過半徑公式求出粒子的速度．
（3）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子的半徑，通過幾何關(guān)系得出圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，根據(jù)周期公式，結(jié)合

t

T

=

α

2π

求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（4）根據(jù)粒子的半徑公式求出粒子的軌道半徑，作出粒子軌跡所能到達(dá)的部分，根據(jù)幾何關(guān)系求出面積．

解答：解：（1）如圖，沿半徑射入，r與R垂直，
兩三角形全等
而出射速度v與軌跡半徑r垂直，
所以出射速度與R同一直線．
（2）設(shè)粒子經(jīng)過了n個(gè)軌跡回到了A點(diǎn)，所以在右圖中
α=

π

n

    r=Rtanα
v=

qBR

m

tan

π

n

n=3、4…
t=T=

2πm

qB

（3）粒子的半徑r=

mv

qB

=5cm
要粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡如圖
β=74⁰
時(shí)間t=

74°

360°

T=6.4×10^-8s
（4）粒子的軌跡半徑：r=

mv

qB

=1.5cm
有粒子到達(dá)的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分
S=9.0×10^-4m²
答：（1）證明略．
（2）粒子的速度大小滿足v=

qBR

m

tan

π

n

n=3、4…，可使粒子在磁場(chǎng)中繞行一周回到出發(fā)點(diǎn)，并求離子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

2πm

qB

．
（3）試畫出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，此粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間6.4×10^-8s．
（4）磁場(chǎng)中有粒子到達(dá)的面積S=9.0×10^-4m²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，需掌握粒子的半徑公式和周期公式．該題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．