Question

4．如圖所示，水平絕緣地板GH上方高度為h的空間存在一個勻強電場，場強大小E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上，電場的上、下邊界分別為EF、GH（范圍足夠大）．EF上方水平放置一平行板電容器，下板CD緊靠邊界EF，下板中點開有一個小孔O′．上板AB帶正電，下板CD帶負電，板間電壓為U，板間距離為d．一個帶電量為+q、質量為m的小球從非�？拷�上板的中點O靜止釋放．圖中P為地板上一點，且O、O′、P三點共線．小球可以視為質點，不計空氣阻力．求：
（1）小球離開小孔O′時的速度；
（2）若小球每次撞擊地板后電量保持不變，速度大小減為撞擊前的一半，方向和撞擊前的方向相反，且第一次撞擊后立即在EF下方空間加上方向如圖所示的勻強磁場，電場保持不變．（邊界EF存在電場和磁場）
①欲使小球不離開邊界EF，則所加磁場的磁感應強度大小滿足的條件；
②在滿足①中的磁感應強度取最小值時，求小球與地板的撞擊點到P點的距離．

Answer 1

分析 （1）小球在電容器中受到重力和電場力的作用，由動能定理即可求出速度；
（2）由動能定理求出小球到達P的速度，然后結合左手定則判斷出小球碰撞的方向，由牛頓第二定律求出小球運動的半徑，畫出粒子的運動軌跡，由幾何關系求出磁場的半徑，結合半徑公式求出磁感應強度的最小值和小球與地板的撞擊點到P點的距離．

解答 解：（1）小球在電容器中受到重力和電場力的作用，由動能定理得：
mgd+qU=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：v₀=$\sqrt{2gd+\frac{2qU}{m}}$
（2）①小球在離開小孔O′后受到的電場力：F=qE=q•$\frac{mg}{q}$=mg，與重力大小相等，方向相反，所以粒子在EF以下做勻速直線運動，到達P的速度不變；
反彈后的速度是碰撞前的一半，加磁場后，由于重力與電場力大小相等，方向相反，所以洛倫茲力提供向心加速度，粒子做勻速圓周運動，其半徑不大于h，即r≤h，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{mv}{qr}≥\frac{m•\sqrt{2gd+\frac{2qU}{m}}}{4h}$
②粒子做勻速圓周運動，再次與地板相碰時粒子的軌跡是半圓，所以磁感應強度取最小值時，小球與地板的撞擊點到P點的距離：L=2r=2h．
答：（1）小球離開小孔O′時的速度是$\sqrt{2gd+\frac{2qU}{m}}$；
（2）若①欲使小球不離開邊界EF，則所加磁場的磁感應強度大小滿足的條件是B≥$\frac{m•\sqrt{2gd+\frac{2qU}{m}}}{4h}$；
②在滿足①中的磁感應強度取最小值時，小球與地板的撞擊點到P點的距離是2h．

點評 本題的難點是分析帶電粒子的運動情況，可通過畫軌跡圖象分析，由于仍在磁場中的粒子的軌跡的長度與從MN邊界上最左邊射出的粒子長度相同，仍在磁場中的粒子的初速度方向在臨界條件以內．