Question

如圖甲所示，一邊長為L，質量為m，電阻為R的正方形金屬框豎直放置在磁場中，磁場方向垂直方框平面，磁感應強度的大小隨y的變化規(guī)律為B=B₀+ky，k為恒定常數，同一水平面上磁感應強度相同．現將方框從如圖所示位置自由下落，重力加速度為g，不計空氣阻力，設磁場區(qū)域足夠大．
（1）判定方框中感應電流的方向；
（2）通過計算確定方框最終運動的狀態(tài)；
（3）乙圖為金屬框中感應電動勢E與y的關系圖．請求出金屬框下落H高度過程中產生的內能Q．

Answer 1

分析：（1）金屬框下落過程中，穿過線框的磁通量增大，根據楞次定律判斷感應電流方向．
（2）線框在磁場中，做加速度逐漸減小的變加速運動，直至最后加速度為零，即做勻速運動．線框下落時，上、下兩邊都切割磁感線產生感應電動勢，由E=BLv求出回路中總的感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流的大小，得到安培力的大小，由牛頓第二定律求出勻速運動時的速度．
（3）由圖象可得線框下落H高度時做勻速運動，線框的重力勢能減小轉化為線框的動能和內能，根據能量守恒定律求出金屬框下落H高度過程中產生的內能Q．

解答：解：（1）由楞次定律得，線框中感應電流方向為逆時針．　　
（2）線框在磁場中，做加速度逐漸減小的變加速運動，直至最后加速度為零，即做勻速運動．                                       
設線框運動t時間后下落h高度，豎直方向速度為v_y，切割產生的電動勢
  E=B_下Lv-B_上Lv                         
  I=

E

R

                                  
mg-（B_下LI-B_上LI）=ma
又  B_下-B_上=（B₀+ky_下）-（B₀+ky_上）=k（y_下-y_上）=kL
聯(lián)立解得，a=g-

k2L4vy

mR

則知豎直方向先做加速度減小的變加速運動，最終勻速運動，當a=0時，速度最大，最大速度為v_m=

mRg

k2L4

（3）由圖象可得線框下落H高度時做勻速運動
由能量守恒定律得  Q=mgH-

1

2

mv_m²=mgH-

m3R2g2

2k4L8

答：
（1）方框中感應電流的方向為逆時針方向；
（2）豎直方向先做加速度減小的變加速運動，最終勻速運動，最終的速度為

mRg

k2L4

；
（3）金屬框下落H高度過程中產生的內能Q是mgH-

m3R2g2

2k4L8

．

點評：本題的解題關鍵是推導出安培力與y的關系，分析線框的運動狀態(tài)，考查綜合分析電磁感應與力學綜合題的能力．