Question

【題目】（1）開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即，k是一個對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式。己知引力常量為G,太陽的質(zhì)量為。

(2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立。經(jīng)測定月地距離為3.84×l08m,月球繞地球運動的周期為2.36×l06s,試計算地球的質(zhì)量M地。（G=6.67×10-1lN·m2/kg2,結(jié)果保留2位有效數(shù)字）

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1) 行星繞太陽的運動按圓周運動處理時，此時軌道是圓，就沒有半長軸了，此時應改為，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達式；

(2) 根據(jù)（1）中得到的關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)即可求得地球的質(zhì)量。

(1) 因行星繞太陽作勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r。根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

則有：

即 ；

(2) 在月地系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，

解得：。