Question

19．如圖所示，粗糙弧形軌道和兩個(gè)光滑半圓軌道組成翹尾巴的S形軌道．光滑半圓軌道半徑為R，兩個(gè)光滑半圓軌道連接處CD之間留有很小空隙，剛好能夠使小球通過(guò)，CD之間距離可忽略．粗糙弧形軌道最高點(diǎn)A與水平面上B點(diǎn)之間的高度為h．從A點(diǎn)靜止釋放一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球沿翹尾巴的S形軌道運(yùn)動(dòng)后從E點(diǎn)水平飛出，落到水平地面上，落點(diǎn)到與E點(diǎn)在同一豎直線上B點(diǎn)的距離為s．已知小球質(zhì)量m，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球從E點(diǎn)水平飛出時(shí)的速度大��；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）小球沿翹尾巴S形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從E點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)水平位移和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度．
（2）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得求出B點(diǎn)速度，在B點(diǎn)，沿半徑方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)球的彈力，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）小球從E點(diǎn)水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球從E點(diǎn)水平飛出時(shí)的速度大小為v_E，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
s=v_Et
$4R=\frac{1}{2}g{t^2}$
聯(lián)立解得：${v_E}=\frac{s}{4}\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_B^2=mg4R+\frac{1}{2}mv_E^2$
解得：$v_B^2=8gR+\frac{{{s^2}g}}{8R}$
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：$F-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
得：$F=9mg+\frac{{mg{s^2}}}{{8{R^2}}}$
由牛頓第三定律可知小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為${F^'}=9mg+\frac{{mg{s^2}}}{{8{R^2}}}$，方向豎直向下
（3）設(shè)小球沿翹尾巴的S形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功為W，則
$mg（h-4R）-W=\frac{1}{2}mv_E^2$
得$W=mg（h-4R）-\frac{{mg{s^2}}}{16R}$
答：（1）小球從E點(diǎn)水平飛出時(shí)的速度大小為$\frac{s}{4}\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為$9mg+\frac{mg{s}^{2}}{8{R}^{2}}$，方向豎直向下；
（3）小球沿翹尾巴S形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功為$mg（h-4R）-\frac{mg{s}^{2}}{16R}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的規(guī)律，知道豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)由合外力提供向心力，綜合運(yùn)用牛頓定律和動(dòng)能定理進(jìn)行解題．