Question

19．游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會掉下來（如圖1）．我們把這種情況抽象為圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端無初速滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動，其中M、N分別為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn)．如果已知圓軌道的半徑為R=5.0m小球質(zhì)量為m=1.0kg（一切阻力均忽略不計，取重力加速度g=10m/s²），問：
（1）h至少為多大才可使小球沿圓軌道運(yùn)動而不掉下來？
（2）取第一問中的求得的h值，小球通過M點(diǎn)時軌道對小球的支持力為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得小球在M點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律可求得軌道對小球的支持力

解答 解：（1）當(dāng)小球恰好通過最高點(diǎn)時，在最高點(diǎn)的速度為v：$mg=m\frac{v^2}{R}$，
小球運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}mv_{\;}^2$，
解得：h=2.5R=12.5m
（2）在M點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)速度為v₁：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{1}{{\;}^{2}}^{\;}}{R}$，
由機(jī)械能守恒定律：$mg•2R=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得F_N=6mg=60N
答：（1）h至少為12.5m才可使小球沿圓軌道運(yùn)動而不掉下來；
（2）取第一問中的求得的h值，小球通過M點(diǎn)時軌道對小球的支持力為60N．

點(diǎn)評 本題屬于圓周運(yùn)動中繩的模型，在最高點(diǎn)時應(yīng)該是重力恰好作為圓周運(yùn)動的向心力，對于圓周運(yùn)動中的兩種模型一定要牢牢的掌握．