Question

如圖所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，絕緣細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端系一帶正電的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（軌道半徑為r），小球所受的電場(chǎng)力大小等于

3

mg．
（1）小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，v_a滿足什么條件？
（2）若小球恰好在堅(jiān)直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)a點(diǎn)小球受到繩的拉力有多大？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)小球通過(guò)等效的最高點(diǎn)，即電場(chǎng)力與重力的合力恰好指向O的位置時(shí)，小球在豎直平面內(nèi)就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場(chǎng)力與重力的合力恰好提供向心力，列式求出“最高點(diǎn)”的速度，由動(dòng)能定理求解v_a滿足的條件．
（2）在a點(diǎn)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）如圖，設(shè)小球經(jīng)過(guò)H點(diǎn)時(shí)速度最小，此時(shí)電場(chǎng)力與重力的合力恰好指向O．
則得：qE=mgtanθ，tanθ=

qE

mg

=

3

，得：θ=60°
在H處時(shí)，繩子的拉力恰好為零，小球有最小的速度，設(shè)為v_m．
根據(jù)牛頓第二定律得：mgcos60°+qEsin60°=m

v 2 m

r

解得，

v

2 m

=2gr
由H→a過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
 

1

2

m

v

2 a

-

1

2

m

v

2 m

=qErsin60°-mgr（1-cos60°）
聯(lián)立上兩式解得，v_a=2

gr

所以小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，v_a滿足的條件是：v_a≥2

gr

．
（2）設(shè)小球恰好在堅(jiān)直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，a點(diǎn)小球受到繩的拉力為T，則
在a點(diǎn)處，根據(jù)牛頓第二定律得：
   mg+T=m

v 2 a

r

解得，T=3mg
答：
（1）小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，v_a滿足的條件是：v_a≥2

gr

．
（2）若小球恰好在堅(jiān)直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)a點(diǎn)小球受到繩的拉力為3mg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題關(guān)鍵找到等效的最高點(diǎn)，通常稱為物理最高點(diǎn)，運(yùn)用牛頓第二定律和動(dòng)能定理結(jié)合求解．