Question

7．上表面為光滑$\frac{1}{4}$圓弧的物體A與上表面粗糙的物體B用一自動鎖緊密相連，A、B靜止在光滑平面上．一質(zhì)量為m的物體C從物體A的頂端自由釋放，當C滑到B表面后，自動解鎖A、B分離．已知m_A=2m，m_B=m，B與C之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，R_A=0.6m，物體B上表面長L=0.6m．（g=10m/s²）求：最終物體A和B的速度各是多少？

Answer 1

分析 C從開始下滑到剛滑到B表面的過程，對三個物體，由水平方向的動量守恒和能量守恒定律列式，求得C滑到B上時的速度和A的速度．自動解鎖A、B分離后A做勻速運動，C在B上滑行，對B、C，運用動量守恒定律和能量守恒定律列式求解．

解答 解：首先以三者為系統(tǒng)，根據(jù)能量守恒定律得：
  mgR_A=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
 0=mv_C+（m_A+m_B）v_A
聯(lián)立整理可以得到：v_C=3m/s（向右）；v_A=-1m/s（向左），即以后A以1m/s向左做勻速直線運動；
以后以C和B為系統(tǒng)，若二者最終共速：
則根據(jù)動量守恒定律有：mv_C+m_Bv_A=（m+m_B）v_共
得 v_共=1m/s
根據(jù)能量守恒定律有：
  μmg△x=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+{m}_{B}）{v}_{共}^{2}$
整理可以得到相對位移△x=0.8m＞L=0.6m，說明二者沒有達到共速時，C已與B分離．
設(shè)分離時C的速度為${v}_{C}^{′}$，B的速度為v_B′，則根據(jù)動量守恒和能量守恒得到：
  mv_C+m_Bv_A=m${v}_{C}^{′}$+m_Bv_B′
根據(jù)能量守恒定律有：
  μmgL+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{′2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{A}^{2}$
聯(lián)立整理可以得到：v_B′=2m/s，向右．（另一解 v_B′=0＜v_共，不合理，舍去）
答：最終物體A的速度是1m/s，方向向左，B的速度是2m/s，方向向右．

點評 解決本題的關(guān)鍵要注意分析物體的運動過程，運用木塊在木板上滑行過程，遵守動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合進行研究．