Question

（1）開普勒行星運(yùn)動第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即

a3

T2

=k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
（2）一均勻球體以角速度ω繞自己的對稱軸自轉(zhuǎn)，若維持球體不被瓦解的唯一作用力是萬有引力，則此球的最小密度是多少？

Answer 1

分析：（1）行星繞太陽的運(yùn)動按圓周運(yùn)動處理時，此時軌道是圓，就沒有半長軸了，此時

a3

T2

=k應(yīng)改為

r3

T2

，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達(dá)式；
（2）球體表面物體隨球體自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，球體有最小密度能維持該球體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解的條件是表面的物體受到的球體的萬有引力恰好提供向心力，物體的向心力用周期表示等于萬有引力，再結(jié)合球體的體積公式、密度公式即可求出球體的最小密度．

解答：解：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有
    G

M太m

r2

=m

4π2

T2

r                
   于是有 

r3

T2

=

GM太

4π2

              
即   k=

GM太

4π2

                          
所以太陽系中該常量k的表達(dá)式是

GM太

4π2

．
（2）設(shè)位于赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m，物體受到的球體的萬有引力恰好提供向心力，
這時球體不瓦解且有最小密度，
由萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律得：GM

m

R2

=mω²R     
又因ρ=

M

4 3 πR3

由以上兩式得ρ=

3ω2

4πG

．
所以球的最小密度是

3ω2

4πG

．
答：（1）太陽系中該常量k的表達(dá)式是

GM太

4π2

．（2）若維持球體不被瓦解的唯一作用力是萬有引力，則此球的最小密度是

3ω2

4πG

．

點(diǎn)評：本題就是考察學(xué)生對開普勒行星運(yùn)動第三定律的理解和應(yīng)用，掌握住開普勒行星運(yùn)動第三定律和萬有引力定律即可求得結(jié)果，式中的常量k必修是相對于同一個中心天體來說的．