Question

11．如圖所示，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.0×10^-3T，一帶正電荷的粒子以v=3.5×10⁴m/s的速率從x軸上的P（0，0.5）處射入磁場(chǎng)，從y軸上的M（0.5，0）處射出磁場(chǎng)，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電量為q，不計(jì)粒子的重力．
（1）求上述粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，就可以使其沿x軸負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，并求出粒子射出磁場(chǎng)處的坐標(biāo)；
（3）如果要求該粒子按題設(shè)條件從M處射出磁場(chǎng)，第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可以局限在一個(gè)最小矩形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出該矩形，并求出此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡可以求得粒子的比荷．
（2）粒子做的是勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以粒子處于受力平衡狀態(tài)，由此可以求得電場(chǎng)的大小和方向．
（3）是帶電粒子在有界磁場(chǎng)（矩形區(qū)域）中的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁場(chǎng)和帶電粒子的軌跡相切時(shí)，磁場(chǎng)的面積最小

解答 解：（1）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r，如圖甲所示：
依題意MP連線即為該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小直徑，
由幾何關(guān)系得：r=$\frac{MP}{2}$=$\frac{\sqrt{0．{5}^{2}+0．{5}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m  ①
粒子圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$   ②
由①②解得：$\frac{q}{m}$=5.0×10^-7C/kg；
（2）設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，如圖乙所示，當(dāng)粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，速度沿x軸負(fù)方向，
依題意，在此時(shí)加一個(gè)沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)、電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡則有：Eq=qvB，
代入數(shù)據(jù)得：E=70N/C，所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿y軸正方向．
由幾何關(guān)系可知，圓弧MQ所對(duì)應(yīng)的圓心角為45°則射出點(diǎn)A對(duì)應(yīng)y軸截距為：
|OA|=r+$\frac{1}{2}$OP=$\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{0.5}{2}$≈0.6m，則粒子射出磁場(chǎng)處A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0m，0.6m）
（3）如圖丙所示，所求的最小矩形是MM₁P₁P，
該區(qū)域面積為：s=2r²，代入r=0.35m可得：
s=0.25m²
答：（1）粒子A的比荷$\frac{q}{m}$為5.0×10^-7C/kg；
（2）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為70N/C，方向：沿y軸正方向，粒子射出磁場(chǎng)處的坐標(biāo)值（0m，0.6m）；
（3）如圖所示，這個(gè)最小的矩形區(qū)域的面積為0.25m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．