Question

15．如圖所示，在平行于水平地面的勻速磁場(chǎng)中，有一小球質(zhì)量為m，帶電量為+q，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，小球離地足夠高，初速度為零．求：
（1）小球下落到最低點(diǎn)時(shí)，其軌跡在該點(diǎn)的曲線半徑是多少？（提示曲線的曲率半徑是曲線上該點(diǎn)的最大內(nèi)切圓或最小外切圓的半徑）
（2）小球下落的最大距離是多少
（3）小球下落過(guò)程中重力做功的最大功率為多大？

Answer 1

分析 （1）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程受到重力與洛倫茲力作用，由于牛頓第二定律可以求出曲率半徑．
（2）洛倫茲力不做功，只有重力做功，由于動(dòng)能定理可以求出小球下落的最大距離．
（3）小球所受重力豎直向下，洛倫茲力對(duì)小球不做功，應(yīng)用功率公式P=mvcosθ可以求出重力做功的最大功率．

解答 解：（1）對(duì)m，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到最底點(diǎn)時(shí)，
由牛頓第二定律得：qvB-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
則：m$\frac{{v}^{2}}{R}$-qvB+mg=0，
判別式：△=b²-4ac，即：（qB）²-4$\frac{{m}^{2}g}{R}$≥0，
R≥$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，取最小值為：R=$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）對(duì)m由于洛倫茲力不做功，
由動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由R及m$\frac{{v}^{2}}{R}$-qvB+mg=0得：v=$\frac{-（-qB）}{2\frac{m}{R}}$=$\frac{2mg}{qB}$，
解得：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）對(duì)m，當(dāng)a_y=0時(shí)，有v_y最大，
由牛頓第二定律得：mg-qv_xB=0，
qv_yB=ma_x，對(duì)上式求和消t得：∑q$\frac{△y}{△t}$B=∑m$\frac{△{v}_{x}}{△t}$，
qyB=mv_x，P_mg=mgv_y，mgy=$\frac{1}{2}$mv²，
v_x²+v_y²=v²，解得：P_mgmax=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{qB}$；
答：（1）小球下落到最低點(diǎn)時(shí)，其軌跡在該點(diǎn)的曲線半徑是$\frac{4{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（2）小球下落的最大距離是$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）小球下落過(guò)程中重力做功的最大功率為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道洛倫茲力對(duì)小球不做功只有重力對(duì)小球做功、分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用牛頓第二定律與動(dòng)能定理可以解題．