Question

在如圖的裝置中，兩個光滑的定滑輪的半徑很小，表粗糙的斜面固定在地面上，斜面的傾角為θ=30°．用一根跨過定滑輪的細繩連接甲乙兩物體，把甲物體放在斜面上且連線與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使懸線拉直且偏離豎直方向α=60°．現(xiàn)同時釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內(nèi)振動，當乙物體運動經(jīng)過最高點和最低點時，甲物體在斜面上均恰好未滑動．已知乙物體的質(zhì)量為m=1kg，若取重力加速度g=10m/s²．試求：
（1）乙物體運動經(jīng)過最高點和最低點時懸繩的拉力大�。�
（2）甲物體的質(zhì)量及斜面對甲物體的最大靜摩擦力．

Answer 1

分析：當乙物體運動到最高點時，拉力最小，此時甲物體有沿斜面向上的最大靜摩擦力；當乙物體運動到最低點時，拉力最大，此時甲物體有沿斜面向下的最大靜摩擦力，根據(jù)共點力平衡列出表達式，求出甲物體的質(zhì)量和最大靜摩擦力．

解答：解析：（1）設(shè)乙物體運動到最高點時，繩子上的彈力為F_T1
對乙物體F_T1=mgcosα=5 N
當乙物體運動到最低點時，繩子上的彈力為F_T2
對乙物體由機械能守恒定律：mgl（1-cosα）=

1

2

mv²
又由牛頓第二定律：F_T2-mg=m

v2

l

得：F_T2=mg（3-2cosα）=20 N．
（2）設(shè)甲物體的質(zhì)量為M，所受的最大靜摩擦力為F_f，乙在最高點時甲體恰好不下滑，
有：Mgsinθ=F_f+F₁
得：Mgsinθ=F_f+mgcosα
乙在最低點時甲物體恰好不上滑，有：
Mgsinθ+F_f=F_T2
得：Mgsinθ+F_f=mg（3-2cosα）
可解得：M=

m(3-cosα)

2sinθ

=2.5 kg
F_f=

3

2

mg（1-cosα）=7.5 N．
答案：（1）乙物體運動經(jīng)過最高點和最低點時懸繩的拉力大小分別為5 N　和20 N　
（2）甲物體的質(zhì)量2.5 kg，斜面對甲物體的最大靜摩擦力7.5 N．

點評：本題是動能定理和動力學結(jié)合的問題，關(guān)鍵找出兩個臨界狀態(tài)．在兩個臨界狀態(tài)下甲物體處于平衡狀態(tài)．