Question

13．如圖所示，真空中有一折射率n=$\sqrt{3}$、邊長為a的正方形透明板ABCD，點(diǎn)光源S位于透明板的對角線所在的直線PP′上，且SA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$a．點(diǎn)光源S朝著AB、AD邊同時(shí)射出兩條光線，入射角均為i=60°，不考慮光的多次反射，最終兩出射光線交CP′于S′點(diǎn)（未畫出）．已知真空中的光速為c，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．求：
（i）光線在透明板中傳播的時(shí)間t；
（ii）S′點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離d．

Answer 1

分析 （i）先由折射定律求出光線在AB邊上的折射角，再由幾何關(guān)系求光線在透明板中傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光線在透明板中傳播的速度，再求光線在透明板中傳播的時(shí)間t；
（ii）根據(jù)幾何關(guān)系和光路可逆性原理，求S′點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離d．

解答 解：（i）光路圖如圖．光線在E點(diǎn)折射時(shí)有 n=$\frac{sini}{sinr}$
將i=60°、n=$\sqrt{3}$代入上式解得 r=30°
根據(jù)幾何知識可得：EG=$\frac{a}{cosr}$
光線在透明板中傳播的速度 v=$\frac{c}{n}$
所以光線在透明板中傳播的時(shí)間 t=$\frac{EG}{v}$=$\frac{na}{ccosr}$=$\frac{2a}{c}$
（ii）根據(jù)幾何知識可得：
∠ESA=45°-30°=15°
∠EHA=15°
則三角形ESH是等腰三角形，EH=ES．
α=r=30°，根據(jù)光路可逆性原理，可知 β=i=60°
三角形GHS′是等腰三角形，GH=GS′．
在△ESA中，由正弦定理得
  $\frac{SA}{sin30°}$=$\frac{SE}{sin135°}$
且 SA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$a
解得 SE=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$a，則EH=SE=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$a
HG=EG-EH=$\frac{5\sqrt{3}-3}{12}$a
HS′=2HGcos15°=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{6}}{12}$a
HC=$\sqrt{2}$a-（2EHcos15°-SA）=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$a
所以 d=S′C=HS′-HC=$\frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{24}$a
答：
（i）光線在透明板中傳播的時(shí)間t是$\frac{2a}{c}$；
（ii）S′點(diǎn)與C點(diǎn)間的距離d是$\frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{24}$a．

點(diǎn)評 解決幾何光學(xué)問題，首先要畫出光路圖，其次靈活運(yùn)用幾何知識求角度或距離，結(jié)合折射定律研究．