Question

如圖所示，有一半徑為R質(zhì)量為m的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面緊靠在光滑的墻壁上，在槽口正上方某處有一質(zhì)量為m的小球，由靜止釋放，落下后可沿光滑的球面滑下．試問(wèn)：
（1）若小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好能到達(dá)右端最高點(diǎn)，則h應(yīng)取多少？
（2）小球第二次到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)的速度是多少？
（3）若小球第一次到達(dá)B點(diǎn)到第二次到達(dá)B點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間已知為t，則小球第二次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，凹槽距墻壁有多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）小球從下落到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，凹槽P不動(dòng)，小球的機(jī)械能守恒；小球從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，凹槽P向右運(yùn)動(dòng)，小球與凹槽P組成的系統(tǒng)水平方向不受外力，水平方向的動(dòng)量守恒，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．故先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，再對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，求解h；
（2）根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，求解小球第二次到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)的速度；
（3）取整體研究，整體的質(zhì)心向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小等于小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)共同速度，即可由S=vt求解小球第二次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)凹槽距墻壁的距離．

解答：解：（1）設(shè)小球第一次到B點(diǎn)速度為v₁₀，到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)共同速度為V
小球從下落到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得  mgh=

1

2

m

v

2 10

小球從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，水平方向動(dòng)量也守恒，則有 
  mgh=

1

2

(m+m)v2+mgR
   mv₁₀=2mV
聯(lián)立解得：h=2R，V=

v10

2

=

Rg

（2）設(shè)小球第二次到B點(diǎn)速度為v₁，凹槽的速度為v₂，則有
  mv₁₀=mv₁+mv₂
 

1

2

m

v

2 10

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得，v₁=0，v₂=v₁₀=2

gR

（3）取整體研究，整體的質(zhì)心向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為V=

gR

故小球第二次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)凹槽距墻壁的距離S=Vt=t

gR

答：（1）若小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好能到達(dá)右端最高點(diǎn)，h應(yīng)取2R；
（2）小球第二次到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)的速度是0；
（3）若小球第一次到達(dá)B點(diǎn)到第二次到達(dá)B點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間已知為t，則小球第二次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，凹槽距墻壁有t

gR

遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題一要正確選取研究對(duì)象，二判斷系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒關(guān)鍵是明確系統(tǒng)是否受到外力的作用，本題中凹槽P向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，只是水平方向動(dòng)量守恒．