Question

2．宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的恒星X₁、X₂，半徑均為R₀．圖中T和r分別表示兩顆恒星周圍行星的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)半徑，則（　　）

• A． 恒星X₁表面的重力加速度大于恒星X₂表面的重力加速度
• B． 恒星X₁的第一宇宙速度大于恒星X₂的第一宇宙速度
• C． 恒星X₁的密度小于恒星X₂的密度
• D． 距離兩恒星表面高度相同的行星，繞恒星X₁運行的行星公轉(zhuǎn)周期較小

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于向心力，得到${T}_{\;}^{2}$與${r}_{\;}^{3}$的表達(dá)式，結(jié)合圖線的斜率，得到恒星質(zhì)量的大小關(guān)系，根據(jù)重力等于萬有引力比較恒星表面的重力加速度，根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$比較第一宇宙速度，根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$比較密度，周期公式$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$比較周期

解答 解：A、行星圍繞恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，設(shè)恒星質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得：$\frac{{T}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}$
由${T}_{\;}^{2}-{r}_{\;}^{3}$圖線是一條過原點的直線，知${T}_{\;}^{2}$∝${r}_{\;}^{3}$，斜率$k=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}$
圖線1斜率大于圖線2的斜率，所以有：${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$
根據(jù)$mg=G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$，得：$g=G\frac{M}{{R}_{0}^{2}}$
所以恒星${X}_{1}^{\;}$表面的重力加速度小于恒星${X}_{2}^{\;}$表面的重力加速度，故A錯誤．
B、第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，兩恒星半徑相等，${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以恒星${X}_{1}^{\;}$的第一宇宙速度小于恒星${X}_{2}^{\;}$的第一宇宙速度，故B錯誤．
C、兩恒星半徑相等，體積相等，$ρ=\frac{M}{V}$，因為${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以恒星${X}_{1}^{\;}$密度小于恒星${X}_{2}^{\;}$的密度，故C正確．
D、根據(jù)周期公$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，距兩恒星表面高度相同的行星，軌道半徑相同，因為${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以繞恒星${X}_{1}^{\;}$運行的行星周期大，故D錯誤．
故選：C

點評 本題考查考生從圖象獲取信息的能力，寫出圖象得函數(shù)表達(dá)式，從斜率入手分析是解本題的突破口．