Question

2．如圖，MN、PQ為水平放置的足夠長的平行光滑導軌，導軌間距L為1m，導軌左端連接一個1Ω的電阻R，將一根質(zhì)量為1kg的金屬棒cd垂直地放置導軌上，且與導軌接觸良好，金屬棒的電阻和導軌的電阻均不計，整個裝置放在磁感強度為1T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下．現(xiàn)對金屬棒施加一水平向右的拉力F，使棒開始做初速度為零，加速度為1m/s²的勻加速運動，拉力F的最大功率為20W．
（1）求棒開始做勻加速運動時，拉力F隨時間的變化關(guān)系；
（2）棒維持勻加速運動的時間和這段時間內(nèi)通過電阻R上的電量；
（3）若拉力F功率達到最大值后保持最大功率不變，再經(jīng)過1s后棒開始做勻速直線運動，求這1s內(nèi)電阻R上的發(fā)熱量．

Answer 1

分析 （1）應用牛頓第二定律可以求出拉力隨時間變化的關(guān)系．
（2）應用勻變速直線運動的速度公式求出金屬棒是速度，然后應用功率公式P=Fv求出勻加速的時間，然后求出勻加速的位移，再求出通過電阻的電荷量．
（3）由勻變速直線運動的速度公式求出勻加速結(jié)束的速度，由功率公式P=Fv求出勻速運動的速度，然后應用動能定理求出電阻上的發(fā)熱量．

解答 解：（1）棒在勻加速運動過程中，
由牛頓第二定律得：F-$\frac{{{B^2}{L^2}at}}{R}=ma$，
解得：F=t+1（N）．
（2）金屬棒做勻加速直線運動，加速度：a=1m/s²，
速度：v=at=t，拉力：F=t+1，拉力的功率：P=Fv，
整理得：t（t+1）=20，t²+t-20=0，解得：t=4s或t=-5s（舍去），
勻加速過程中的位移：s=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×1×4²=8m，
這段時間內(nèi)通過電阻R上的電量：
q=I△t=$\frac{E}{R}$△t=$\frac{\frac{△Φ}{△t}}{R}$△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLs}{R}$=$\frac{1×1×8}{1}$=8C．
（3）設(shè)拉力F功率達到最大時，所用時間為t₁，
棒的速度為v₁，棒做勻速直線運動時速度為v₂，
棒勻速運動時拉力等于安培力，最大功率：
P=Fv₂=F_安培v₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R}$，最大速度：v₂=$\sqrt{\frac{PR}{{{B^2}{L^2}}}}$=$\sqrt{\frac{20×1}{{1}^{2}×{1}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$m/s，
勻速結(jié)束的速度：v₁=at₁=1×4=4m/s，
由動能定理得：Pt₂-Q=$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得：Q=18J．
答：（1）棒開始做勻加速運動時，拉力F隨時間的變化關(guān)系為：F=t+1（N）；
（2）棒維持勻加速運動的時間和這段時間內(nèi)通過電阻R上的電量為8C；
（3）1s內(nèi)電阻R上的發(fā)熱量為18J．

點評 本題是一道電磁感應與力學相結(jié)合的綜合題，難度較大，分析清楚導體棒的運動過程與運動性質(zhì)是解題的前提與關(guān)鍵，綜合運用牛頓第二定律、運動學公式、功率公式、動能定理等知識可以解題．