Question

5．在如圖所示的區(qū)域里，y軸左側(cè)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=4×10⁵N/C，方向與y軸負(fù)方向夾角為30°．在y軸右方有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，B=0.01T，現(xiàn)有質(zhì)量為m=1.6×10^-27kg的質(zhì)子，以v₀=2×10⁵m/s的速度從x軸上的A點(diǎn)射出（A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O相距10cm），第一次沿x軸正方向射出；第二次沿x軸負(fù)方向射出．求：
（1）質(zhì)子先后兩次進(jìn)入電場(chǎng)前在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的比值；
（2）第一次進(jìn)入電場(chǎng)后在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）第一次質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)和射出的電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出半徑和周期，畫(huà)出兩次圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出兩次做圓周運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角即可；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)的分解把類平拋分解為沿電場(chǎng)方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和垂直電場(chǎng)線方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)分運(yùn)動(dòng)運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律即可；
（3）接著第二問(wèn)的類平拋繼續(xù)分析，運(yùn)用幾何關(guān)系即可求出兩點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)子電量為q，質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，兩次的圓心角分別θ₁和θ₂，兩次的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t₁和t₂
        如圖質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)后座勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$①
        已知數(shù)據(jù)代入①式得：R=20cm
        質(zhì)子兩次運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，最后兩質(zhì)子均垂直于電場(chǎng)線方向進(jìn)入電場(chǎng)，有幾何關(guān)系可知：
        質(zhì)子第一次從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的軌跡圓心角：θ₁=210° ②
        質(zhì)子第二次從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的軌跡圓心角：θ₂=30° ③
        質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$④
        ①④聯(lián)立得：T=$\frac{2πm}{qB}$ 
        質(zhì)子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$ ⑤
        ②③代入⑤式得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{210}{30}$=7：1
（2）設(shè)質(zhì)子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′，該時(shí)間內(nèi)在垂直電場(chǎng)方向的位移為x₁，平行于電場(chǎng)線方向的位移為y₁，加速度為大小為a
        根據(jù)類平拋規(guī)律，對(duì)質(zhì)子有：x₁=v₀t′⑥
        y₁=$\frac{1}{2}$at′² ⑦
        根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma ⑧
        根據(jù)幾何關(guān)系：tan60°=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$ ⑨
       聯(lián)立⑥⑦⑧⑨式，代入題給數(shù)據(jù)得：t′=$\sqrt{3}$×10^-8s≈1.73×10^-8s
（3）設(shè)第一次質(zhì)子在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的合位移大小為s，第一次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)縱坐標(biāo)y₁′，射出電場(chǎng)時(shí)縱坐標(biāo)y₂′
        根據(jù)幾何關(guān)系得：s=2x₁       
        s=4$\sqrt{3}$×10^-3m
        第一次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)縱坐標(biāo)y₁′=R（1+cos30°）≈37.3cm
        第一次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)縱坐標(biāo)y₂′=R（1+cos30°）-s≈36.6cm
        所以第一次質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，37.3cm）；第一次質(zhì)子射出電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，36.6cm）
答：（1）質(zhì)子先后兩次進(jìn)入電場(chǎng)前在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的比值為7：1；
      （2）第一次進(jìn)入電場(chǎng)后在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1.73×10^-8s；
      （3）第一次質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，37.3cm）；第一次質(zhì)子射出電場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，36.6cm）

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)和磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解決磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)一定要作圖，這樣才能更快地確定圓心，找到幾何關(guān)系；類平拋用運(yùn)動(dòng)的合成和分解處理，第二問(wèn)中⑨式用到了類平拋運(yùn)動(dòng)的位移偏向角公式（與平拋類似），注意總結(jié)歸納．