Question

如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿(mǎn)了勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開(kāi)始時(shí)刻，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里(如圖)。t=0時(shí)刻，有一帶正電的粒子(不計(jì)重力)從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，初速度為v₀=2´10³m/s。已知正粒子的比荷為1.0´10⁴C/kg，其它有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖中標(biāo)示（磁感應(yīng)強(qiáng)度B取垂直紙面向里為正）。試求：

(1)t=´10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)。

(2)粒子從開(kāi)始時(shí)刻起經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次到達(dá)y軸。

(3)粒子是否還可以返回坐標(biāo)原點(diǎn)O？如果可以，則經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次返回坐標(biāo)原點(diǎn)O？

Answer 1

(1)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，周期為T(mén)，由洛侖茲力提供向心力，有qvB= 得：R===0.4m……2分　 又T====4p?10^-4s……2分

在磁場(chǎng)變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為: N==(個(gè)運(yùn)動(dòng)周期)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示。第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：

x=Rcos30°=0.2m,　 y=R+sin30°=0.6m

所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)(0.2m，0.6m) ……2分

(2)根據(jù)第(1)問(wèn)可知，粒子在第一個(gè)磁場(chǎng)變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動(dòng)了N₁=個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為N₂==(個(gè)周期) ……2分

所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角為60°.運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。

第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動(dòng)了：N₃==(個(gè)周期)，……2分

對(duì)應(yīng)的圓心角為120°粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過(guò)y軸故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=?10^-4s ……3分

(3)粒子在磁場(chǎng)中作周期性運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和周期性，畫(huà)出粒子的部分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構(gòu)成一個(gè)正三邊形。

故粒子在磁場(chǎng)中一共運(yùn)動(dòng)了6個(gè)大圓弧和6個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為t'=6??10^-4s+6??10^-4s=12p?10^-4s ……6分