Question

3．一宇宙人在太空（那里重力可以忽略不計(jì)）玩壘球．遼闊的太空球場半側(cè)為均勻電場，場強(qiáng)為E，另半側(cè)為均勻磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電場和磁場的分界面為平面，電場方向與界面垂直，磁場方向垂直紙面向里．宇宙人位于電場一側(cè)的P點(diǎn)，O點(diǎn)是P點(diǎn)至界面垂線的垂足，如圖所示，現(xiàn)有三個(gè)質(zhì)量相等的壘球，其中壘球1號與壘球2號帶電量相同（帶負(fù)電），壘球3號不帶電．且宇宙人每次都是從同一點(diǎn)P投出壘球．宇宙人先在P點(diǎn)由靜止釋放壘球1號，間隔時(shí)間T后以一定初速度v₁水平向左拋出壘球2號，壘球2號第一次到達(dá)界面時(shí)剛好與第二次到達(dá)界面的壘球1號相碰．
（1）試求壘球2號拋出時(shí)初速度v₁的大小．
（2）試求壘球1號的比荷大�。�
（3）假設(shè)宇宙人在將壘球1號由靜止釋放的同時(shí)，將壘球3號以大小為v₂的初速度水平向左拋出，結(jié)果壘球1號剛好可以與壘球3號相碰，假設(shè)PO=$\frac{πE}{2B}$T，試求v₂的大�。�（該題不考慮壘球之間的相互作用力）

Answer 1

分析 （1、2）壘球2在電場中的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)，壘球1在電場中做勻加速直線，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得出，兩壘球在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，從而可知，壘球在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得壘球的比荷，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律，列出半徑表達(dá)式，依據(jù)幾何關(guān)系，即可求解初速度v₁的大小；
（3）壘球1先勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減小為零時(shí)，剛好與壘球3相碰，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1、2）壘球1先作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而壘球2做平拋運(yùn)動(dòng)，如圖所示：

壘球1與壘球2在電場中，豎直方向均做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因此兩壘球在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，
由于間隔時(shí)間T后拋出壘球2，且同時(shí)相碰，則說明拋出壘球1在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間即為T，
根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期公式，可知，T=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{πm}{Bq}$；
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{BT}$，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則有：x=v₁t；
而x=2R=$\frac{2mv}{Bq}$；
而v=$\frac{qE}{m}t$
綜合解得：v₁=$\frac{2E}{B}$
（3）由題意可知，壘球1先做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而壘球3做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)壘球1速度減為零時(shí)，恰好與壘球3相碰，如圖所示：

因PO=$\frac{πE}{2B}$T，即$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}=\frac{πE}{2B}T$；
解得：t=T；
根據(jù)從運(yùn)動(dòng)到相碰時(shí)，壘球3的位移等于圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，
那么v₂（2t+T）=$\frac{2m}{Bq}•\frac{qE}{m}•t$
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{2E}{3B}$；
答：（1）壘球2號拋出時(shí)初速度v₁的大小$\frac{2E}{B}$．
（2）壘球1號的比荷大小$\frac{π}{BT}$．
（3）v₂的大小$\frac{2E}{3B}$．

點(diǎn)評 考查物體做勻變速運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律的應(yīng)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與周期公式，注意題目中T是圓周運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期是解題的突破口，及畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡也是解題的關(guān)鍵．