Question

18．如圖所示，豎直固定的內(nèi)壁光滑的半圓彎管與水平管和光滑水平地面相切，管的半徑為R，小球A、B由輕彈簧相連，質(zhì)量均為2m，開始時，A球靠在墻邊，A、B處于靜止?fàn)顟B(tài)，小球C的質(zhì)量為m，現(xiàn)C以某一初速度由水平管進入彎管，然后，與B正碰，碰后速度相同，但不粘連，最后，C球恰能返回水平管道．求：
（1）C球初速度v₀；
（2）A離開墻后彈簧的最大彈性勢能（此時B球沒有進入彎管）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機械能守恒定律求出C球下滑到地面與B碰撞前的速度．B、C碰撞過程遵守動量守恒定律，由此定律求出碰后兩者共同速度．當(dāng)BC被彈簧反彈時，C球的速度與BC碰撞后的瞬時速度大小相等，當(dāng)C球恰能返回水平管道時速度為零，再對C，運用機械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得C球初速度v₀；
（2）A離開墻后，當(dāng)AB速度相同時，彈簧的形變量，彈簧的彈性勢能最大，由系統(tǒng)的動量守恒和機械能守恒分別列式，即可求解，

解答 解：（1）設(shè)C球下滑至彎管底端時的速度大小為v．B與C碰撞后共同速度大小為v′．根據(jù)機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
B與C碰撞過程，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
mv=（m+2m）v′…②
BC被彈簧反彈時速度大小也為v′，方向向右．
對C球沖上彎管的過程，據(jù)題：C球恰能返回水平管道時速度為零，則由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=mg•2R…③
由①②③聯(lián)立解得：v₀=4$\sqrt{2gR}$…④
（2）A離開墻后，A、B系統(tǒng)的動量守恒，當(dāng)兩者速度相同時，彈簧的彈性勢能最大，設(shè)A、B相同的速度為v₁．取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律得：
2mv′=（2m+2m）v₁；
$\frac{1}{2}$•2mv′²=E_p+$\frac{1}{2}$（2m+2m）v₁²；
聯(lián)立解得彈簧的最大彈性勢能為：E_p=2mgR
答：（1）C球初速度v₀是4$\sqrt{2gR}$．
（2）A離開墻后彈簧的最大彈性勢能是2mgR．

點評 本題關(guān)鍵是明確三個小球的運動情況，知道C球剛好返回水平管道時臨界速度為零．分析清楚A、B兩球的速度相同時彈簧的彈性勢能達到最大，由動量守恒定律和機械能守恒定律結(jié)合研究．