Question

16．一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點的豎直面內(nèi)做圓周運動，測得繩的拉力F大小隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示．F₁=7F₂，設(shè)R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力．以下說法正確的是（　�。�

• A． 該星球表面的重力加速度為 $\frac{\sqrt{7}{F}_{1}}{7m}$
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為 $\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 星球的密度為 $\frac{3{F}_{1}}{28πGmR}$
• D． 小球過最高點的最小速度為0

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，在最高點和最低點時，由向心力的公式和整個過程的機械能守恒可以求得重力加速度的大小；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度；
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求出星球的密度；
（4）對小球在最高點運用牛頓第二定律分析求解最小速度大小

解答 解：A、設(shè)小球在最低點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則  F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$ ①
設(shè)砝碼在最高點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則  F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$    ②
由機械能守恒定律得 $mg•2r+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ③
由①、②、③解得  g=$\frac{{F}_{1}^{\;}-{F}_{2}^{\;}}{6m}$    ④
${F}_{1}^{\;}=7{F}_{2}^{\;}$，所以該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}^{\;}}{7m}$．故A錯誤．
B、根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B錯誤．
C、在星球表面，萬有引力近似等于重力 $G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$      ⑤
由④、⑤解得  M=$\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}$，星球的體積$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3{F}_{1}^{\;}}{28πGmR}$，故C正確．
D、小球在最高點受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運動定律得：F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$＞mg所以小球在最高點的最小速v²＞gR，即$v＞\sqrt{gR}$，故D錯誤；
故選：C

點評 根據(jù)小球做圓周運動時在最高點和最低點的運動規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度；知道在星球表面時，萬有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運動時，物體的重力就作為做圓周運動的向心力．