Question

16．一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)：用不可伸長(zhǎng)的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點(diǎn)，如圖甲所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)的豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力F大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示．F₁=7F₂，設(shè)R、m、引力常量G以及F₁為已知量，忽略各種阻力．以下說法正確的是（　�。�

• A． 該星球表面的重力加速度為 $\frac{\sqrt{7}{F}_{1}}{7m}$
• B． 衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為 $\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• C． 星球的密度為 $\frac{3{F}_{1}}{28πGmR}$
• D． 小球過最高點(diǎn)的最小速度為0

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球受力分析，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由向心力的公式和整個(gè)過程的機(jī)械能守恒可以求得重力加速度的大�。�
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可以求得星球的第一宇宙速度；
（3）求得星球表面的重力加速度的大小，再由在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，可以求得星球的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求出星球的密度；
（4）對(duì)小球在最高點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律分析求解最小速度大小

解答 解：A、設(shè)小球在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力為F₁，速度為v₁，則  F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$ ①
設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₂，速度為v₂，則  F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$    ②
由機(jī)械能守恒定律得 $mg•2r+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ③
由①、②、③解得  g=$\frac{{F}_{1}^{\;}-{F}_{2}^{\;}}{6m}$    ④
${F}_{1}^{\;}=7{F}_{2}^{\;}$，所以該星球表面的重力加速度為$\frac{{F}_{1}^{\;}}{7m}$．故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故B錯(cuò)誤．
C、在星球表面，萬(wàn)有引力近似等于重力 $G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$      ⑤
由④、⑤解得  M=$\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}$，星球的體積$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{7Gm}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3{F}_{1}^{\;}}{28πGmR}$，故C正確．
D、小球在最高點(diǎn)受重力和繩子拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$＞mg所以小球在最高點(diǎn)的最小速v²＞gR，即$v＞\sqrt{gR}$，故D錯(cuò)誤；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度；知道在星球表面時(shí)，萬(wàn)有引力和重力近似相等，而貼著星球的表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的重力就作為做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．