Question

如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M=1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0.24m的半圓軌道最低點P的切線相平．現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的滑塊（可視為質(zhì)點）以v₀=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時小車還未與墻壁碰撞，當小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²，求：
（1）滑塊與小車共速時的速度及小車的最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度；
（3）討論小車的長度L在什么范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道？

Answer 1

分析：（1）滑塊在小車滑行過程，系統(tǒng)所受的合外力為零，動量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能有關(guān)．當兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時，小車的長度最短，根據(jù)能量守恒求解最小長度；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得經(jīng)過Q點時的速度．小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，對滑塊從車上開始滑動到運動到Q點的過程，運用動能定理即可求得滑塊滑過的距離，由幾何關(guān)系求出小車的長度；
（3）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點離開軌道，也可能滑到T點，根據(jù)動能定理結(jié)合上題的結(jié)果可求出L的范圍．

解答：解：（1）由動量守恒知，mv₀=（m+M）v₁，得v₁=4m/s
  設(shè)小車的最小長度為L₁
由能量守恒知μmgL 1=

1

2

mv 0 2-

1

2

(m+M)v1 2，
得  L₁=3m
（2）m恰能滑過圓弧的最高點，mg=m

v 2 Q

R

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到最高點Q，在這個過程對滑塊由動能定理：
   -μmgL2-mg2R=

1

2

m

v

2 Q

-

1

2

m

v

2 1

解得：L₂=1m
所以小車長度L=L₁+L₂=4m
（3）由（2）可知，滑塊要想運動到Q點，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m
若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．
小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動，運動到T點，在這個過程對滑塊由動能定理：
  -μmg

L

′ 2

-mgR=0-

1

2

m

v

2 1

解得

L

′ 2

=2.8m
此時小車的長度為L′=L₁+L₂′=5.8m，小車的長度滿足：3m≤L≤5.8m．
答：（1）滑塊與小車共速時的速度為4m/s，小車的最小長度為3m；
（2）滑塊m恰好從Q點離開圓弧軌道時小車的長度為4m；
（3）小車的長度L在3m≤L≤4m或3m≤L≤5.8m范圍，滑塊能滑上P點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道．

點評：當遇到相互作用的問題時要想到運用動量守恒定律并結(jié)合能量守恒定律求解，當遇到豎直面內(nèi)圓周運動問題時注意臨界速度的求法．該題還要注意對滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道的情景分析．