Question

5．天宮一號(hào)、二號(hào)的成功發(fā)射以及與“神舟”飛船的交會(huì)對(duì)接為我國(guó)建立長(zhǎng)期運(yùn)行的空間站積累的寶貴的經(jīng)驗(yàn)，加入我國(guó)的空間站進(jìn)入運(yùn)動(dòng)軌道后，其運(yùn)行周期為T(mén)，距地面的高度為h，已知地球半徑為R，引力常量為G，若將天宮一號(hào)的運(yùn)行軌道看作圓軌道，則地球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，地球的平均密度為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；一艘宇宙飛船飛近某一新發(fā)現(xiàn)的行星，并進(jìn)入靠近該行星表面的圓形軌道繞行數(shù)圈后，著陸在行星上，宇宙飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：
A、彈簧秤一個(gè)
B、精確秒表一只
C、天平一臺(tái)（附砝碼一套）
D、物體一個(gè)
為測(cè)定該行星的質(zhì)量M和半徑R，宇航員在繞行及著陸后各進(jìn)行一次測(cè)量，一句測(cè)量數(shù)據(jù)可以求出M和R（已知萬(wàn)有引力常量G）
（1）繞行時(shí)測(cè)量所用的儀器為B（用儀器的字母序號(hào)表示），所測(cè)物理量有周期T；
（2）著陸后測(cè)量所用的儀器為ACD（用儀器的字母序號(hào)表示），所測(cè)物理量有物體重量F和質(zhì)量m，用測(cè)量數(shù)據(jù)求該星球質(zhì)量M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，用測(cè)量數(shù)據(jù)求該星球半徑R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

Answer 1

分析 天宮一號(hào)飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律求出地球的質(zhì)量，然后應(yīng)用密度公式求出地球的平均密度．
（1）（2）要測(cè)量行星的半徑和質(zhì)量，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力等于向心力，列式求解會(huì)發(fā)現(xiàn)需要測(cè)量出行星表面的重力加速度和行星表面衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期，從而需要選擇相應(yīng)器材．

解答 解：天宮一號(hào)飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得，地球質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
地球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）行星表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
飛船繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：R=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$----①
M=$\frac{{g}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$-----②
由牛頓第二定律：F=mg------③
因而需要用秒表測(cè)量繞行時(shí)周期T，用天平測(cè)量質(zhì)量m，用彈簧秤測(cè)量重力F；
（2）著陸后測(cè)量所用的儀器為ACD，所測(cè)物理量為物體重量F和質(zhì)量m．
由②③得：M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，由①③得R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；
故答案為：$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）B，周期T；（2）ACD，物體重量F和質(zhì)量m．$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$；$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題；
（1）（2）的解題關(guān)鍵是：先要弄清實(shí)驗(yàn)原理，再根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理選擇器材，計(jì)算結(jié)果．