Question

7．據(jù)報(bào)道，目前我國正在研制“螢火二號”火星探測器．探測器升空后，先在地球表面附近以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞火星飛行．若認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1：2，密度之比為5：7．設(shè)火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． g′：g=1：4
• B． g′：g=7：10
• C． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
• D． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{14}}$

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系，代入化簡可得出重力加速度與密度和半徑的關(guān)系，進(jìn)一步計(jì)算重力加速度之比．
根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$和$M=ρ•\frac{4}{3}π{R^3}$化簡解出速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)化簡可得速度之比．

解答 解：AB、在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
所以$g=\frac{GM}{R^2}=\frac{{G•ρ•\frac{4}{3}π{R^3}}}{R^2}=\frac{4}{3}πGρR$
所以$\frac{g′}{g}=\frac{ρ′}{ρ}•\frac{R′}{R}=\frac{5}{7}×\frac{1}{2}=\frac{5}{14}$，故AB錯(cuò)誤．
CD、探測器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行都是由萬有引力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$…①，
M為中心體質(zhì)量，R為中心體半徑．
$M=ρ•\frac{4}{3}π{R^3}$…②
由①②得：v=$\sqrt{\frac{{4πGρ{R^2}}}{3}}$
已知地球和火星的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，所以探測器繞地球表面運(yùn)行和繞月球表面運(yùn)行線速度大小之比為：v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$；故C正確、D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌重力等于萬有引力這個(gè)關(guān)系，求一個(gè)物理量，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較求解．