Question

6．如圖所示，xoy坐標(biāo)系建在光滑絕緣的水平面上，x軸下方存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直水平面向外．A、C、D坐標(biāo)分別為（0，2L）、（0，L）、（a，0），A、C兩點(diǎn)分別固定一平行于x軸放置的長(zhǎng)度小于a的相同絕緣彈性擋板PQ和MN，A、C均為擋板中點(diǎn)，A、D兩處分別放有兩個(gè)相同的絕緣小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球質(zhì)量為m，且A處小球不帶電，D處小球帶電量為q（q＞0）．若A處小球以某一水平速度v₀飛向D，帶電小球被碰后與擋板MN發(fā)生兩次碰撞，并能經(jīng)過(guò)A點(diǎn)與檔板PQ發(fā)生碰撞，設(shè)球與球發(fā)生彈性碰撞，球與擋板碰撞前后沿板方向分速度不變，垂直板方向分速度等大反向，求：
（l）A處小球的初速度v₀的大��？
（2）彈性檔板MN的最小長(zhǎng)度？
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，則帶電小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）按照題目粒子運(yùn)動(dòng)的先后過(guò)程，列出相應(yīng)的方程，質(zhì)量相等的兩個(gè)小球發(fā)生彈性碰撞后交換速度．即D處的粒子以vo速度進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)磁場(chǎng)后與MN發(fā)生兩次碰撞恰又回到A點(diǎn)，畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)內(nèi)外做勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡，找到這個(gè)過(guò)程包含精妙的幾何關(guān)系．將粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和坐標(biāo)代入該關(guān)系，就能得到粒子的初速度．
（2）由圖可知板的最短長(zhǎng)度為l_min=2OF，從而求出板的最短長(zhǎng)度．
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，則圖中的θ=60°，分別求出粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間和在場(chǎng)外做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩者相加就得到帶電小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（l）兩小球策一次彈性碰撞：mv₀=mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
解得：v₁=0，v₂=v₀
（或文字說(shuō)明：策一次彈性碰撞兩球交換速度）
  帶電小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑R，$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
  得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
  在粒子沒(méi)射向A點(diǎn)前，每次進(jìn)入磁場(chǎng)與下次射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)間距DD₁=D₂D₃=D₄D₅=x₁=2Rsinθ
  由幾何知識(shí)可知，粒子每次射出磁場(chǎng)與下次進(jìn)入磁場(chǎng)兩點(diǎn)間距D₁D₂=D₃D₄=x₂=a
  帶電小球兩次碰撞到達(dá)A點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知：x₁+2（x₁-x₂）=2a
  由以上各式可得：v₀=$\frac{qBa\sqrt{4{L}^{2}+{a}^{2}}}{3mL}$
（2）由幾何知識(shí)可知，OF=a-FD₂-（x₁-x₂）
 由圖可知板的最短長(zhǎng)度為l_min=2OF
 得：l_min=$\frac{a}{3}$
（或由圖可知l_min=DD₂=$\frac{a}{3}$）
（3）若a=$2\sqrt{3}L$，則θ=60°，帶電小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角為3×300°=900°，
  在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{900°}{360°}T=\frac{5πm}{qB}$
  做勻速直線運(yùn)動(dòng)的中路程，S=2AD+$4×\frac{AD}{2}$=4AD=16L
  t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$
  帶電小球在D處第二次與不帶電小球碰撞，同理可知兩次交換速度，帶電小球停在D處，不帶電小球勻速直線運(yùn)動(dòng)．
  所以，帶電小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂
  由以上得：t=$\frac{5πm}{qB}+\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$
答：（l）A處小球的初速度v₀的大小為$\frac{qBa\sqrt{4{L}^{2}+{a}^{2}}}{3mL}$．
（2）彈性檔板MN的最小長(zhǎng)度$\frac{a}{3}$．
（3）若a=2$\sqrt{3}$L，則帶電小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{5πm}{qB}+\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第一問(wèn)：由于要與MN發(fā)生兩次碰撞后再回到A點(diǎn)，找到其中的幾何關(guān)系，把坐標(biāo)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑代入就能求出初速度．還要注意的是第三問(wèn)，帶電小球的總時(shí)間應(yīng)當(dāng)是場(chǎng)外場(chǎng)內(nèi)時(shí)間的之和．