Question

兩塊足夠大的平行金屬板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律分別如圖1、圖2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強度的正方向）．在t=0時刻由負極板釋放一個初速度為零的帶負電的粒子（不計重力）．若電場強度E₀、磁感應(yīng)強度B₀、粒子的比荷q/m均已知，且t0=

2πm

qB0

，兩板間距h=

10π2mE0

q B 20

．


（1）求粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值．
（2）求粒子在兩極板間做圓周運動的最大半徑（用h表示）．
（3）若板間電場強度E隨時間的變化仍如圖1所示，磁場的變化改為如圖3所示，試畫出粒子在板間運動的軌跡圖（不必寫計算過程）．

Answer 1

解法一：
（1）設(shè)粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小為s₁，由運動學(xué)公式和你對第二定律有：
s1=

1

2

a

t

20

，a=

qE0

m

又已知t0=

2πm

qB0

，h=

10π2mE0

q B 20

聯(lián)立以上兩式解得：

s1

h

=

1

5

．
（2）粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)只受洛倫茲力作用，且速度與磁場方向垂直，所以粒子做勻速圓周運動．設(shè)運動速度大小為v₁，軌道半徑為R₁，周期為T，則有：
v₁=at₀，qv1B0=

m v 21

R1

聯(lián)立以上兩式得R1=

h

5π

又T=

2πm

qB0

，即粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)恰好完成一個周期的圓周運動．在2t₀～3t₀時間內(nèi)，粒子做初速度為v₁的勻加速直線運動，設(shè)位移為s₂，則有：
s2=v1t0+

1

2

a

t

20

解得：s2=

3

5

h
由于s₁+s₂＜h，所以粒子在3t₀～4t₀時間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運動，設(shè)速度大小為v₂，半徑為R₂，則有：
v₂=v₁+at₀，qv2B0=

m v 22

R2

解得：R2=

2h

5π

由于s₁+s₂+R₂＜h，粒子恰好又能完成一個周期的圓周運動．
在4t₀～5t₀時間內(nèi)，粒子運動到正極板（如圖1所示）．因此粒子的最大半徑為：


R2=

2h

5π

．
（3）粒子在板間運動的軌跡如圖2所示．
解法二：
由題意可知，電磁場的周期為2t₀，前半周期粒子受電場作用做勻加速直線運動，加速度大小為：
a=

qE0

m

，方向向上．
后半周期粒子受磁場作用多勻速圓周運動，周期為T，則有：
T=

2πm

qB0

=t0
粒子恰好完成一次勻速圓周運動．至第n個周期末，粒子位移大小為s_n，有：
sn=

1

2

a(nt0)2
又已知sn=

n

5π

h
粒子速度大小為v_n=ant₀，粒子做圓周運動的半徑為：
Rn=

mvn

qB0

，
解得：Rn=

nh

5π

，顯然s₂+h＜h＜s₃
所以有：（1）粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值為

s1

h

=

1

5

（2）粒子在兩極板間做圓周運動的最大半徑R2=

2h

5π

（3）粒子在板間運動的軌跡圖見解法一中的圖2．
答：（1）粒子在0～t₀時間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值為

s1

h

=

1

5

（2）粒子在兩極板間做圓周運動的最大半徑R2=

2h

5π

（3）粒子在板間運動的軌跡圖為圖2．