Question

7．“太空粒子探測(cè)器”是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成，其原理可簡(jiǎn)化如下：如圖1所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為O，外圓弧面AB的電勢(shì)為2φ（φ＞o），內(nèi)圓弧面CD的電勢(shì)為ϕ，足夠長(zhǎng)的收集板MN平行邊界ACDB，ACDB與MN板的距離為L(zhǎng)．假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開始加速，不計(jì)粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ拥挠绊�，不考慮過(guò)邊界ACDB的粒子再次返回．

（1）求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）如圖2所示，在PQ（與ACDB重合且足夠長(zhǎng)）和收集板MN之間區(qū)域加一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向內(nèi)，則發(fā)現(xiàn)均勻吸附到AB圓弧面的粒子經(jīng)O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后最多有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，求所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）如圖3所示，在PQ（與ACDB重合且足夠長(zhǎng)）和收集板MN之間區(qū)域加一個(gè)垂直MN的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向如圖所示，大小$E=\frac{ϕ}{4L}$，若從AB圓弧面收集到的某粒子經(jīng)O點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)后到達(dá)收集板MN離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，求該粒子到達(dá)O點(diǎn)的速度的方向和它在PQ與MN間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，電場(chǎng)力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理求粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）從AB圓弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，上端剛好能打到MN上的粒子與MN相切，入射的方向與OA之間的夾角為60°，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，得到軌跡的圓心角．根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，再由牛頓第二定律和洛倫茲力公式結(jié)合求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與MN相切時(shí)，切點(diǎn)到O點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)是類平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解法，由分位移公式和牛頓第二定律結(jié)合解答．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：
  qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
而 U=2φ-φ=φ
解得 v=$\sqrt{\frac{2qφ}{m}}$
（2）從AB圓弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上，則上端剛好能打到MN上的粒子與MN相切，入射的方向與OA之間的夾角為60°，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，軌跡的圓心角 θ=60°．
根據(jù)幾何關(guān)系可得，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑 R=2L
由洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 B=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mφ}{2q}}$
（3）如圖，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與MN相切時(shí)，切點(diǎn)到O點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)是類平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程．
建立如圖坐標(biāo)．則
  L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
可得 t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$=2L$\sqrt{\frac{2m}{qφ}}$
v_x=$\frac{qE}{m}t$=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$=$\sqrt{\frac{qφ}{2m}}$
設(shè)速度與x軸方向的夾角為α
則 cosα=$\frac{{v}_{x}}{v}$
解得 cosα=$\frac{1}{2}$
故α=60°
答：
（1）粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{2qφ}{m}}$．
（2）所加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mφ}{2q}}$．
（3）該粒子到達(dá)O點(diǎn)的速度的方向與x軸正方向的夾角為60°，斜向右上方，它在PQ與MN間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2L$\sqrt{\frac{2m}{qφ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的加速、磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)和電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，巧用逆向思維處理電場(chǎng)中電荷的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，選擇合適的力學(xué)規(guī)律進(jìn)行求解．