Question

【題目】兒童樂園里的彈珠游戲不僅具有娛樂性還可以鍛煉兒童的眼手合一能力。某彈珠游戲可簡(jiǎn)化成如圖所示的豎直平面內(nèi)OABCD透明玻璃管道，管道的半徑較小。為研究方便建立平面直角坐標(biāo)系，O點(diǎn)為拋物口，下方接一滿足方程yx2的光滑拋物線形狀管道OA；AB、BC是半徑相同的光滑圓弧管道，CD是動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.8的粗糙直管道；各部分管道在連接處均相切。A、B、C、D的橫坐標(biāo)分別為xA＝1.20m、xB＝2.00m、xC＝2.65m、xD＝3.40m。已知，彈珠質(zhì)量m＝100g，直徑略小于管道內(nèi)徑。E為BC管道的最高點(diǎn)，在D處有一反彈膜能無能量損失的反彈彈珠，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，g＝10m/s2，求：

（1）若要使彈珠不與管道OA觸碰，在O點(diǎn)拋射速度ν0應(yīng)該多大；

（2）若要使彈珠第一次到達(dá)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力等于彈珠重力的3倍，在O點(diǎn)拋射速度v0應(yīng)該多大；

（3）游戲設(shè)置3次通過E點(diǎn)獲得最高分，若要獲得最高分在O點(diǎn)拋射速度ν0的范圍。

Answer 1

【答案】（1）3m/s（2）2m/s（3）2m/s＜ν0＜2m/s

【解析】

（1）由yx2得：A點(diǎn)坐標(biāo)（1.20m，0.80m）

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：xA＝v0t，yA

代入數(shù)據(jù)，求得 t＝0.4s，v0＝3m/s；

（2）由速度關(guān)系，可得 θ＝53°

求得AB、BC圓弧的半徑 R＝0.5m

OE過程由動(dòng)能定理得：

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）

解得 v0＝2m/s；

（3）sinα0.5，α＝30°

CD與水平面的夾角也為α＝30°

設(shè)3次通過E點(diǎn)的速度最小值為v1．由動(dòng)能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v1＝2m/s

設(shè)3次通過E點(diǎn)的速度最大值為v2．由動(dòng)能定理得

mgyA﹣mgR（1﹣cos53°）﹣4μmgxCDcos30°＝0

解得 v2＝6m/s

考慮2次經(jīng)過E點(diǎn)后不從O點(diǎn)離開，有

﹣2μmgxCDcos30°＝0

解得 v3＝2m/s

故 2m/s＜ν0＜2m/s