Question

8．如圖所示，豎直固定的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道AB半徑R=1.25m，BC為水平傳送帶與ab兩動(dòng)輪的切點(diǎn)．AB與BC水平相切于B點(diǎn)（未連接，圓弧軌道不影響傳送帶運(yùn)動(dòng)）．一質(zhì)量為m=3kg的小滑塊，從A點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，滑塊恰好能滑到C點(diǎn)，已知a、b兩輪半徑均為r=0.4m且兩輪與傳送帶間不打滑，滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，取g=10m/s²．問(wèn)：

（1）BC兩點(diǎn)間的距離是多少？
（2）當(dāng)ab順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀時(shí)，將滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，滑塊恰好能由C點(diǎn)水平飛出傳送帶，求ω₀的大小以及這一過(guò)程中滑塊與傳送帶間產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A到C過(guò)程中只有重力和BC段摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得BC間距離；
（2）滑塊恰好能從C點(diǎn)水平飛出傳送帶，可求出滑塊在C點(diǎn)的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求滑愉與傳送帶間產(chǎn)生的內(nèi)能．

解答 解：（1）滑塊從A到B、B到C，由動(dòng)能定理有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…①
$-μmg{x}_{BC}=-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…②
由①②兩式解得：
x_BC=12.5m；
（2）滑塊恰好能在C點(diǎn)水平飛出傳送帶故有：
$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$…③
可得${ω}_{0}=\frac{{v}_{C}}{r}$=$\frac{\sqrt{gr}}{r}=\sqrt{\frac{g}{r}}=\sqrt{\frac{10}{0.4}}rad/s=5rad/s$…④
滑塊在傳送帶上的減速過(guò)程中有：
-μmg=ma    
可得減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為：a=-μg=-1m/s²…⑤
滑塊減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{{v}_{C}-{v}_{B}}{a}$…⑥
滑塊的位移：${x}_{1}={v}_{B}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑦
傳送帶的位移：x₂=v_Ct…⑧
故產(chǎn)生的內(nèi)能為：
Q=-μmg（x₁-x₂）…⑨
聯(lián)列上式代入數(shù)據(jù)可解得：Q=13.5J．
答：（1）BC兩點(diǎn)間的距離是12.5m；
（2）當(dāng)ab順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀時(shí)，將滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，滑塊恰好能由C點(diǎn)水平飛出傳送帶，ω₀的大小為5rad/s，這一過(guò)程中滑塊與傳送帶間產(chǎn)生的內(nèi)能為13.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)綜合題，關(guān)鍵是正確的受力分析和做功分析，知道在C點(diǎn)恰好水平飛出傳送帶所隱含的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵．