Question

我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化．衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球．設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T．假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影響）．
附：解答本題可能用到的數(shù)學(xué)知識：
若sinθ=a，則θ=arcsina；若cosθ=b，則θ=arccosb．

Answer 1

如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點．衛(wèi)星在圓弧BE上運動時發(fā)出的信號被遮擋．
設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有

GMm

r2

=m

4π2

T

r  ①

Gmm0

r 21

=m₀

4π2

T1

r₁  ②
式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期．
由①②式得(

T1

T

)2=

M

m

(

r1

r

)3③
設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，應(yīng)有

t

T1

=

α-β

π

④?
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由幾何關(guān)系得  rcosα=R-R₁⑤r₁cosβ=R₁⑥
由③④⑤⑥式得t=

T

π

Mr 31 mr3

（arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

）