Question

10．如圖所示，地面上方有一水平光滑的平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌左側(cè)有一固定擋板，質(zhì)量M=2Kg的小車緊靠擋板右側(cè)．長L=0.45m的輕質(zhì)剛性繩一端固定在小車底部的O點(diǎn)，另一端栓接質(zhì)量m=1Kg的小球．將小球拉至于O點(diǎn)等高的A點(diǎn)，使繩伸直后由靜止釋放，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求小球經(jīng)過O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小；
（2）若小球向右擺動(dòng)到最高點(diǎn)后，繩與豎直方向的夾角為α，求cosα；
（3）若小車速度最大時(shí)剪斷細(xì)繩，小球落地，落地位置與小球剪斷細(xì)繩時(shí)的位置間的水平距離s=1m，求滑軌距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求出拉力；
（2）由水平方向動(dòng)量守恒可求得小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度；由機(jī)械能守恒可求得小球所在的高度，由幾何關(guān)系求出繩與豎直方向的夾角α．
（3）由拉力的關(guān)系可以判斷出小車的速度最大時(shí)，小球在小車的正下方，由機(jī)械能守恒與動(dòng)量守恒求出二者的速度，然后將小球的運(yùn)動(dòng)沿水平方向與豎直方向分解即可求出．

解答 解：（1）小球向下運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可知：mgL=$\frac{1}{2}$mv²；
物體在最低點(diǎn)的速度：v=$\sqrt{2gL}=\sqrt{2×10×0.45}=3$m/s；
小球在最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力大小為：F=mg+$\frac{m{v}^{2}}{L}$=1×10+$\frac{1×{3}^{2}}{0.45}$=30N
（3）小球向右到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩物體水平速度相等，且小球豎直速度為零；選取向右為正方向，則小車與小球組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，可知：
（M+m）v₁=mv；
v₁=$\frac{mv}{M+m}=\frac{1×3}{1+2}=1$m/s；
設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)上升的高度為△h，如圖：

由小車與小球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}+mg△h$
由幾何關(guān)系得：$cosα=\frac{L-△h}{L}$
代入數(shù)據(jù)得：$cosα=\frac{1}{3}$
（3）小車的速度最大時(shí)，繩子對小車的拉力一定沿豎直方向，所以小球在小車的正下方，設(shè)此時(shí)小球的速度為v₂，小車的速度為v₃，
由于小車與小球組成的系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得：mv₁=mv₂+Mv₃
由小車與小球組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$
分離后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：s=v₂t
豎直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
所以滑軌的高度：H=h+L
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：H=5.45m
答：（1）小球經(jīng)過O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)時(shí)，繩的拉力大小是30N；
（2）若小球向右擺動(dòng)到最高點(diǎn)后，繩與豎直方向的夾角為α，cosα的數(shù)值是$\frac{1}{3}$；
（3）若小車速度最大時(shí)剪斷細(xì)繩，小球落地，落地位置與小球剪斷細(xì)繩時(shí)的位置間的水平距離s=1m，滑軌距地面的高度是5.45m．

點(diǎn)評 本題為機(jī)械能守恒及動(dòng)量守恒相結(jié)合的題目，要注意雖然整體動(dòng)量不守恒，但水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒；同時(shí)明確小球在最高點(diǎn)時(shí)，小球的豎直速度為零，水平速度與小車相同．