Question

（2010?東城區(qū)三模）如圖所示，粒子源S可以不斷地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子從小孔O₁漂進(jìn)（不計(jì)初速）一個(gè)水平方向的加速電場(chǎng)，再經(jīng)小孔0₂進(jìn)入相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，方向如圖．虛線(xiàn)PQ、MN之間存在著水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂（方向圖中未畫(huà)出）．現(xiàn)有n塊折成直角的相同硬質(zhì)塑料板abc（不帶電，寬度很窄，厚度不計(jì)）緊靠在一起，恰好放置在PQ、MN之間（截面圖如圖），ab=bc=L，θ=45°．現(xiàn)使粒子能沿水平虛線(xiàn)0₂0₃進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域．假設(shè)粒子的重力、空氣阻力均不計(jì)，粒子與板相碰后，速率不變，方向變化遵守光的反射定律．求：

（1）加速電壓U
（2）粒子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（3）粒子在PQ、MN之間運(yùn)動(dòng)的平均速度大小v，．

Answer 1

分析：（1）粒子經(jīng)過(guò)復(fù)合場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力向下，洛倫茲力向上，都與速度垂直，故合力為零，根據(jù)平衡條件列式求解速度；根據(jù)動(dòng)能定理研究加速過(guò)程，得到加速電壓U．
（2）（3）粒子與磁場(chǎng)第一次碰撞后，速度向上，洛倫茲力提供向心力，在與ac邊垂直的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一圈后，與ab邊內(nèi)側(cè)碰撞，碰撞后水平向右運(yùn)動(dòng)，與bc邊二次碰撞后，在與ac邊垂直的平面內(nèi)做再次勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)一圈后，與b邊外側(cè)碰撞，水平向右離開(kāi)磁場(chǎng)．先分析出運(yùn)動(dòng)軌跡，再分勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)討論，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先計(jì)算半徑和周期，再根據(jù)軌跡計(jì)算平均速度．

解答：解：（1）設(shè)粒子被加速電場(chǎng)加速后的速率為v．粒子在正交電磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有Eq=qvB₁，
則v=

E

B1

由動(dòng)能定理得 qU=

1

2

mv²
加速電壓為U=

mE2

2q B 2 1

（2）粒子從O₃以速率v進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，先水平向右做勻速運(yùn)動(dòng)，打到ab板上，以大小為v的速度垂直于B₂磁場(chǎng)方向做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)一周后打到 ab板的下表面，隨后又以大小為v的速度方向向右做勻速運(yùn)動(dòng)…
     qvB₂=m

v2

R

     T=

2πR

v

得 周期T=

2πm

qB2

粒子在磁場(chǎng)B₂中共碰到2n塊直板，做圓周運(yùn)動(dòng)所需的總時(shí)間為 t₁=2nT
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B₂中在ac方向的總位移為  s=n?

2

L
對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 t1=

s

v

所以粒子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=t₁+t₂=

4αnm

qB2

+

2 nB1L

E

；
（3）粒子在PQ、MN之間運(yùn)動(dòng)的平均速度

.

v

=

s

v

=

2 qEB2L

4πmE+ 2 qB1B2L

．
答：
（1）加速電壓U是

mE2

2q B 2 1

．
（2）粒子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t是

4αnm

qB2

+

2 nB1L

E

．
（3）粒子在PQ、MN之間運(yùn)動(dòng)的平均速度大小是

2 qEB2L

4πmE+ 2 qB1B2L

．

點(diǎn)評(píng)：本題中的復(fù)合場(chǎng)具有速度選擇的功能，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，根據(jù)動(dòng)力學(xué)規(guī)律先確定運(yùn)動(dòng)軌跡，再進(jìn)行計(jì)算．