Question

9．如圖所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力． 
（1）微粒在磁場(chǎng)中從P點(diǎn)出發(fā)只穿過(guò)一次虛線邊界就可以打到Q點(diǎn)，求微粒的速度大小及從P到Q所用的時(shí)間．
（2）若向里磁場(chǎng)是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，求其速度的最大值．
（3）若向里磁場(chǎng)沒(méi)有外邊界，微粒從P點(diǎn)能到Q點(diǎn)，求微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小及運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子的速度，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子只穿過(guò)一次邊界的軌跡如圖所示：
由幾何知識(shí)可得：r=R，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\frac{qBR}{m}$，
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=T=$\frac{2πm}{qB}$；
（2）速度V越大，對(duì)應(yīng)的軌道半徑越大，穿過(guò)邊界的次數(shù)越少，
由幾何關(guān)系，得不超出邊界的最大半徑軌跡如圖，對(duì)應(yīng)的速度最大．
由幾何知識(shí)得：tan30°=$\frac{{r}_{2}}{R}$，
由牛頓第二定律得：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：v_m=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)邊界分成n等分（n=2，3，4…），
由幾何知識(shí)可得：θ=$\frac{π}{2n}$，tanθ=$\frac{r}{R}$，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：v₀=$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$  （n=2、3、4…）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性可得：t=$\frac{n}{2}$T=$\frac{nπm}{qB}$ （n=2、4、6…）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即
t=$\frac{n-1}{2}$T+$\frac{π+\frac{π}{n}}{2π}$T=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=3、5、7…）；
答：（1）微粒的速度大小為$\frac{qBR}{m}$，從P到Q所用的時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}$．
（2）其速度的最大值為$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．
（3）微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小為$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$  （n=2、3、4…），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{nπm}{qB}$ （n=2、4、6…）或$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=3、5、7…）．

點(diǎn)評(píng) 運(yùn)動(dòng)軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問(wèn)題的一種方法．同時(shí)要利用圓的特性與物理規(guī)律相結(jié)合．本題是一道難題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題解題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．