Question

14．如圖所示，在x軸上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，在x軸下方有勻強(qiáng)電場(chǎng)E，方向如圖所示，PQ是一個(gè)垂直于x軸的屏幕，PQ到O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，有一質(zhì)量為m，電量為-q的粒子（不計(jì)重力），從y軸到M點(diǎn)由靜止釋放，最后垂直打在PQ上，求：
（1）M點(diǎn)的y坐標(biāo)；
（2）粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的路程s．

Answer 1

分析 1．要使粒子從靜止開(kāi)始能最后垂直打在PQ上，其初始位置必須在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域里，由電場(chǎng)加速獲得速度才能到達(dá)P點(diǎn)．題中P點(diǎn)的位置未知，分情況進(jìn)行討論：
若粒子從y軸上由靜止釋放，則粒子先加速后磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，由幾何知識(shí)得到磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離間的關(guān)系：L=2nR-R （n=1，2，3，…）．分別根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求解電場(chǎng)加速粒子獲得的速度、磁場(chǎng)中軌跡半徑表達(dá)式，即可求出初始坐標(biāo)滿足的條件；
2．粒子的總路程包括電場(chǎng)中的路程和磁場(chǎng)中的路程，求出兩場(chǎng)中的過(guò)程即可求出總路程．

解答 解：（1）由題意，要使粒子從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，能最后垂直打在PQ上，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能是$\frac{1}{4}$周期，或n+$\frac{1}{4}$周期，由幾何知識(shí)得到磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與OP距離間的關(guān)系：
L=2nR-R （n=1，2，3，…）．
由題意知第n次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

設(shè)粒子初速度為v，則有：qvB=m $\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\frac{qBR}{m}$；
設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)做加速運(yùn)動(dòng)的最大路程為y，加速度為a，則有：
v²=2ay′
qE=ma
則電場(chǎng)中的路程：y=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mE}$=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）^{2}}$（n=1，2，3，…）．
（2）第n次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中的路程為（2n-1）y，在磁場(chǎng)中的路程為：$\frac{n-1}{2}•2πR+\frac{1}{4}•2πR$
粒子運(yùn)動(dòng)的總路程：s=$（2n-1）y+\frac{n-1}{2}•2πR+\frac{1}{4}•2πR$=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）}+\frac{πL}{2}$（n=1，2，3，…）；
答：（1）M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）^{2}}$（n=1，2，3，…）；
（2）粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的路程是$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2mE•（2n-1）}+\frac{πL}{2}$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的題目關(guān)鍵在于明確圓心和半徑，注意要根據(jù)題意找出合理的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從而得出正確的結(jié)論．