Question

4．如圖所示的坐標(biāo)系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內(nèi)，既無(wú)電場(chǎng)也無(wú)磁場(chǎng)，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直xy平面（紙面）向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第四象限，存在沿y軸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)大小與第三象限電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)相等的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電量為q的帶電質(zhì)點(diǎn)，從y軸上y=h處的P₁點(diǎn)以一定的水平初速度沿x軸負(fù)方向進(jìn)入第二象限．然后經(jīng)過(guò)x軸上x(chóng)=-2h處的P₂點(diǎn)進(jìn)入第三象限，帶電質(zhì)點(diǎn)恰好能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．之后經(jīng)過(guò)y軸上y=-2h處的P₃點(diǎn)進(jìn)入第四象限．（運(yùn)動(dòng)軌跡如圖）已知重力加速度為g．求：
（1）粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)在第四象限空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，從而求出粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)與重力場(chǎng)中時(shí)，重力與電場(chǎng)力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由平衡可得出電場(chǎng)強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）粒子最后粒子進(jìn)入電場(chǎng)與重力場(chǎng)中時(shí)，做類斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)豎直方向的速度減小到0．此時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度最小，根據(jù)速度的分解求出最小速度．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)從P₁到P₂，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
h=$\frac{1}{2}$gt²，
得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
則2h=v₀t，
得：v₀=$\frac{2h}{t}$=$\sqrt{2gh}$
v_y=gt=$\sqrt{2gh}$ 
故粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小為：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{gh}$，
方向與x軸負(fù)方向成45°角．
（2）質(zhì)點(diǎn)從P₂到P₃，重力與電場(chǎng)力平衡，洛侖茲力提供向心力Eq=mg，
且有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何知識(shí)得：（2R）²=（2h）²+（2h）²，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，
B=$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$
（3）質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入第四象限，做類斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)豎直方向的速度減小到0．此時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度最小，且等于v在水平方向的分量，則：
v_min=vcos45°=$\sqrt{2gh}$，方向沿x軸正方向．
答：（1）粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小是2$\sqrt{gh}$，方向與x軸負(fù)方向成45°角．
（2）第三象限空間中電場(chǎng)強(qiáng)度是$\frac{mg}{q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）帶電質(zhì)點(diǎn)在第四象限空間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度的大小是$\sqrt{2gh}$，方向沿x軸正方向．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在場(chǎng)中三種運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和類斜拋運(yùn)動(dòng)，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．