Question

如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每根導(dǎo)軌單位長度電阻為r₀，導(dǎo)軌的端點O、O′用電阻可忽略的導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌間的距離為．導(dǎo)軌處于垂直紙面向里的非勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度B沿y方向大小不變，沿x方向均勻增強，即有B=kx，其中k為常數(shù)．一根質(zhì)量為m、電阻不計的金屬桿MN靜止在坐標(biāo)原點O、O′處．從t=0時刻，金屬桿MN在拉力F作用下，以大小恒定為a的加速度在導(dǎo)軌上沿x方向無摩擦地滑動，滑動過程中桿保持與導(dǎo)軌垂直．求
（1）在時刻t金屬桿MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小；
（2）在時刻t金屬桿MN所受的外力F；
（3）感應(yīng)電動勢的平均值與位移為x的函數(shù)關(guān)系；
（4）若在時刻t撤去拉力F，試說明金屬桿MN此后做什么運動，并求此后電路發(fā)出的熱量．

Answer 1

（1）在時刻t，有桿通過的位移大小為x=

1

2

at2
此時B=kx=

1

2

kat²，v=at
所以在t時刻金屬桿MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為
   E=Blv=

1

2

kla²t³
（2）據(jù)題知，在時刻t，回路的總電阻R=2xr₀=ar₀t²
所以在t時刻流經(jīng)回路的感應(yīng)電流大小為
   I=

E

R

=

klat

2r0

根據(jù)右手定則判斷知，感應(yīng)電流方向為NMPQN（逆時針方向）．
在t時刻金屬桿MN所受的安培力大小為
   F_安=BIl
代入解得，F(xiàn)_安=

k2a2l2t3

4r0

根據(jù)牛頓第二定律得
   F-F_安=ma
解得 F=ma+

k2a2l2t3

4r0

（3）位移為x時，桿運動的時間為△t=t=

2x a

由于B隨x均勻變化，則感應(yīng)電動勢平均值為

.

B

=

0+kx

2

=

1

2

kx
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得 

.

E

=

△Φ

△t

=

. B ?△S

△t

，
又△S=lx
聯(lián)立以上各式得

.

E

=

2a klx 3 2

4

（4）撤去拉力F，金屬桿MN受到安培力作用而減速運動，由能量守恒定律得
   Q=

1

2

mv2=

1

2

ma2t2
答：
（1）在時刻t金屬桿MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為

1

2

kla²t³；
（2）在時刻t金屬桿MN所受的外力F為ma+

k2a2l2t3

4r0

；
（3）感應(yīng)電動勢的平均值與位移為x的函數(shù)關(guān)系為

.

E

=

2a klx 3 2

4

；
（4）若在時刻t撤去拉力F，金屬桿MN此后做減速運動，此后電路發(fā)出的熱量為

1

2

ma2t2．