Question

17．如圖所示，在距水平地面高h(yuǎn)₁=1.2m的光滑水平臺(tái)面上，一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存的彈性勢能為E_p，現(xiàn)打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺(tái)，并恰好從B點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入光滑豎直的圓弧軌道BC．已知B點(diǎn)距水平地面的高h(yuǎn)₂=0.6m，圓弧軌道BC的圓心為O，0點(diǎn)與A點(diǎn)等高，C點(diǎn)的切線水平，并與水平地面上長為L=2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊的豎直墻壁會(huì)發(fā)生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空氣阻力忽略不計(jì)．試求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小及彈簧開始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢能大�。�
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對軌道壓力N的大��；
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變?yōu)榕銮暗囊话�，�?huì)且只會(huì)發(fā)生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析 （1）小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由速度公式求得小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B；小物塊從釋放到運(yùn)動(dòng)達(dá)到A的過程中，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求彈簧開始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢能大�。�
（2）先根據(jù)功能關(guān)系列式求解C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二、第三定律列式求解；
（3）根據(jù)能量守恒列出能量等式解決問題．由于物塊的末位置不確定，要考慮物塊可能的滑過的路程．

解答 解：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：
t=$\sqrt{\frac{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}{g}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s                     　
到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度大小為：
 v_By=gt=2$\sqrt{3}$m/s                               
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，
  cos∠BOC=$\frac{{h}_{1}-{h}_{2}}{{h}_{1}}$
解得：cos∠BOC=60°
所以，v_B與水平方向的夾角為60°
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
 v_B=$\frac{{v}_{By}}{sin60°}$=4m/s                         
 v₀=v_Bcos60°=2m/s                            
小物塊從釋放到運(yùn)動(dòng)達(dá)到A的過程中，機(jī)械能守恒，有
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²=2J                                 
（2）對小球從A到C的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，
  E_p+mgh₁=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，
對小球在圓弧軌道C點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律：
  N_c-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 
解得  N_c≈33.3N        
根據(jù)牛頓第三定律知，物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對軌道壓力 N=N_c≈33.3N        
（3）依據(jù)題意知，
①μ的最大值對應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度剛好等于零，根據(jù)能量關(guān)系有：
mgh₁+E_p=μmgL   代入數(shù)據(jù)解得：μ=$\frac{1}{2}$
②對于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：
  mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC=$\frac{1}{8}$mv₂²-μmgL  可知即使μ=0，有：
  $\frac{1}{2}$mv₂²=14J，$\frac{1}{8}$mv₂²=3.5J＜mgh₂=6J，小物塊不可能返滑至B點(diǎn)      
故μ的最小值對應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：
  $\frac{1}{8}$mv₂²=2μmgL，聯(lián)立mgh₁+E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：μ=$\frac{1}{18}$
綜上可知滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ值：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)到B的瞬時(shí)速度v_B大小為4m/s，彈簧開始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢能大小2J．
（2）物塊在圓弧軌道BC上滑到C時(shí)對軌道壓力為33.3N．  
（3）小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ應(yīng)該滿足的條件是：$\frac{1}{18}$＜μ≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 做物理問題應(yīng)該先清楚研究對象的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)利用物理規(guī)律解決問題；關(guān)于能量守恒的應(yīng)用，要清楚物體運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化．