Question

12．導(dǎo)體切割磁感線的運動可以從宏觀和微觀兩個角度來認識．如圖所示，固定與水平面的U形導(dǎo)線框處于豎直向下的勻強磁場中，金屬直導(dǎo)線MN在與其垂直的水平恒力F作用下，在導(dǎo)線框上以速度v做勻速運動，速度v與恒力F方向相同；導(dǎo)線MN始終與導(dǎo)線框形成閉合回路．已知導(dǎo)線MN電阻為R，其長度l恰好等于平行軌道間距，磁場的磁感應(yīng)強度為B，忽略摩擦阻力和導(dǎo)線框的電阻．
（1）通過公式推導(dǎo)驗證：在△t時間內(nèi)，F(xiàn)對導(dǎo)線MN所做的功W等于電路獲得的電能W_電，也等于導(dǎo)線MN中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（2）若導(dǎo)線的質(zhì)量m=8.0g，長度L=0.10m，感應(yīng)電流I=1.0A，假設(shè)一個原子貢獻1個自由電子，計算導(dǎo)線MN中電子沿導(dǎo)線長度方向定向移動的平均速率v_e（下表中列出一些你可能會用到的數(shù)據(jù)）．

阿伏伽德羅常數(shù)NA	6.0×1023mol-1
元電荷e	1.6×10-19C
導(dǎo)線MN的摩爾質(zhì)量μ	6.0×10-2kg/mol

（3）經(jīng)典物理學(xué)認為，金屬的電阻源于定向運動自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞，展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子的運動模型：在此基礎(chǔ)上，求出導(dǎo)線MN中金屬離子對一個自由電子沿導(dǎo)線長度方向的平均作用力f的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割公式求解感應(yīng)電動勢，根據(jù)閉合電路歐姆定律求解感應(yīng)電流，根據(jù)安培力公式求解安培力，根據(jù)功的定義求解安培力功，根據(jù)W=EIt求解電流的功；
（2）先根據(jù)阿伏加德羅常數(shù)求解單位體積內(nèi)的分子數(shù)，然后根據(jù)電流的微觀表達式求解電荷的平均速率；
（3）建立完全非彈性碰撞的微觀模型，然后根據(jù)功能關(guān)系列式求解．

解答 解：（1）導(dǎo)體切割磁感線，產(chǎn)生的動生電動勢  E=BLυ                         
感應(yīng)電流  I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$                     
安培力  F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$                  
力F做功  W=F△x=Fυ△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t            
電能  W_電=EI△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t    
焦耳熱  Q=I²R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}^{2}}$R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t    
可知，W=W_電=Q
（2）總電子數(shù) N=N_A$\frac{m}{μ}$
設(shè)單位體積內(nèi)電子數(shù)為n，則N=nSL
故    I△t=enSυ_e△t
得    I=enSυ_e=eυ_e$\frac{N}{L}$=eυ_e$\frac{{N}_{A}m}{Lμ}$          
所以  υ_e=$\frac{μIL}{em{N}_{A}}$=7.8×10^-6 m/s
（3）從微觀層面看，導(dǎo)線中的自由電子與金屬離子發(fā)生的碰撞，可以看作非彈性碰撞，碰撞后自由電子損失動能，損失的動能轉(zhuǎn)化為焦耳熱．從整體上來看，可以視為金屬離子對自由電子整體運動的平均阻力導(dǎo)致自由電子動能的損失，
即W_損=N$•\overline{f}•$L                            
從宏觀方面看，力F對導(dǎo)線MN做功，而導(dǎo)線的速度不變，即導(dǎo)線的動能不變，所以力F做功全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱．
△t時間內(nèi)，力F做功△W=Fυ△t             
又△W=W_損
即Fυ△t=N$•\overline{f}•$L    
  Fυ△t=nSυ_e△t$•\overline{f}•$L
將I=neSυ_e代入，得
 Fυ=$\frac{I}{e}$$\overline{f}$L
將F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$、I=$\frac{BLv}{R}$代入
得 $\overline{f}$=eυB
答：
（1）證明如上；
（2）導(dǎo)線MN中電子沿導(dǎo)線長度方向定向移動的平均速率為7.8×10^-6m/s；
（3）導(dǎo)線MN中金屬離子對一個自由電子沿導(dǎo)線長度方向的平均作用力f的表達式為$\overline{f}$=eυB．

點評 本題關(guān)鍵是從功能關(guān)系的角度理解電磁感應(yīng)的微觀機理，應(yīng)用切割公式、閉合電路歐姆定律公式、安培力公式、電流的微觀表達式、功能關(guān)系等列式求解即可．