Question

如圖，半徑R=0.8m的光滑圓弧軌道固定在水平地面上，O為該圓弧的圓心，軌道上方的A處有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的小物塊，小物塊由靜止開始下落后恰好沿切線進(jìn)入圓弧軌道．此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知AO連線與水平方向的夾角θ=45°，在軌道末端C點(diǎn)緊靠一質(zhì)量M=3kg的長木板，木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為多少？

Answer 1

分析：（1）小物塊從A處運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒，得出小物塊滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C．
（2）在C點(diǎn)小物塊受到重力和軌道對(duì)它的豎直向上的支持力，根據(jù)FN-mg=m

vC2

R

，計(jì)算出小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小物塊的支持力的大小，再根據(jù)牛頓第三定律，得出小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）小物塊滑上長木板，與長木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中，先對(duì)系統(tǒng)研究，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律mv_C=（M+m）v，求出小物塊和長木板的共同速度v；再對(duì)小物塊研究，運(yùn)用動(dòng)能定理-fxm=

1

2

mv2-

1

2

mvC2，求出小物塊在該過程中相對(duì)于地面所發(fā)生的位移x_m；再對(duì)長木板，運(yùn)用動(dòng)能定理fxM=

1

2

Mv2，求出長木板在該過程中相對(duì)于地面所發(fā)生的位移x_M；則要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為x_m-x_M．

解答：解：（1）小物塊從A到C，機(jī)械能守恒，設(shè)在C點(diǎn)的速度為v_C
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">mg×2R+0=0+

1

2

mvC2
所以vC=

4gR

=

4×10×0.8

m/s=4

2

m/s
故小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為4

2

m/s
（2）對(duì)小物塊，在C點(diǎn)受到重力和軌道對(duì)它的豎直向上的支持力．由牛頓第二定律得：
FN-mg=m

vC2

R

則FN=m

vC2

R

+mg
=1×

(4 2 )2

0.8

+1×10N
=50N
由牛頓第三定律得：小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．
故小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板右端時(shí)達(dá)到共同速度，大小為v
對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：
mv_c=（M+m）v
則v=

mvC

M+m

=

1×4 2

3+1

m/s
=

2

m/s 
對(duì)小物塊，與長木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：
-μmgxm=

1

2

mv2-

1

2

mvC2
帶人數(shù)據(jù)解得：小物塊在該過程中相對(duì)于地面所發(fā)生的位移 x_m=5m  
對(duì)長木板，與小物塊發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：
μmgxM=

1

2

Mv2
帶人數(shù)據(jù)解得：長木板在該過程中相對(duì)于地面所發(fā)生的位移x_M=1m
長木板的長度至少為L=x_m-x_M
=5m-1m
=4m
答：要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為4 m．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、牛頓第二定律以及牛頓第三定律，解決本題的關(guān)鍵熟練這些定理、定律的運(yùn)用．