Question

4．如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為R的光滑半圓槽先被固定在光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球，以某一初速度沖向半圓槽剛好可以到達頂端C．然后放開半圓槽，讓其可以白由運動，m小球義以同樣的初速度沖向半圓槽，小球最高可以到達與圓心等高的B點，（g=10m/s²）
試求：
（1）半圓槽被固定時，小球運動至C點后做平拋運動的水平射程x
（2）小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值$\frac{m}{M}$為多少？

Answer 1

分析 （1）在C點剛好由重力提供向心力，可解出在C點的速度，小球由C點開始做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移公式可求解水平射程x．
（2）半圓槽第一次被固定時，對小球運用動能定理列方程．
然后放開半圓槽后，m小球又以同樣的初速沖向半圓槽，對m、M系統(tǒng)根據(jù)動量守恒定律、動能定理列式，根據(jù)以上三個方程化簡，即可解出小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值．

解答 解：（1）小球剛好可以到達頂端C，剛好由重力提供向心力，則
 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以到達C點時的速度為 v₁=$\sqrt{gR}$
小球由C點做平拋運動，則
豎直方向上有 2R=$\frac{1}{2}$gt²
所以運動的時間為 t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向上的位移 x=v₁t=2R．
（2）半圓槽第一次被固定時，對小球運用動能定理得：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₀²=5gR
然后放開半圓槽后，m小球又以同樣的初速沖向半圓槽，取水平向右為正方向．
對m、M系統(tǒng)根據(jù)動量守恒定律：
 mv₀=（m+M）v₂
對m、M系統(tǒng)根據(jù)機械能守恒得：
-mgR=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立以上三式解得：$\frac{m}{M}$=$\frac{3}{2}$
答：
（1）半圓槽第一次被固定時，小球運動至C點后平拋運動的水平射程為2R．
（2）小球質(zhì)量與半圓槽質(zhì)量的比值$\frac{m}{M}$為$\frac{3}{2}$．

點評 解答此題的關(guān)鍵能夠分析在哪些過程運用動量守恒定律，哪些過程運用能量守恒定律或動能定理，難點是抓住小球到B點時沿水平向右兩者有共同速度．