Question

湯姆孫測(cè)定電子比荷的實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示．從陰極K發(fā)出的電子束經(jīng)加速后，以相同速度沿水平中軸線射入極板D₁、D₂區(qū)域，射出后打在光屏上形成光點(diǎn)．在極板D₁、D₂區(qū)域內(nèi)，若不加電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電子將打在P₁點(diǎn)；若只加偏轉(zhuǎn)電壓U，電子將打在P₂點(diǎn)；若同時(shí)加上偏轉(zhuǎn)電壓U和一個(gè)方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），電子又將打在P₁點(diǎn)．已知極板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，極板間距為d．忽略電子的重力及電子間的相互作用．

（1）求電子射人極板D₁、D₂區(qū)域時(shí)的速度大��；
（2）打在P₂點(diǎn)的電子，相當(dāng)于從D₁、D₂中軸線的中點(diǎn)O′射出，如圖乙中的O′P₂所示，已知∠P₂O′P₁=θ試推導(dǎo)出電子比荷

e

m

的表達(dá)式；
（3）若兩極板間只加題中所述的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子在極板間的軌跡為一段圓弧，射出后打在P₃點(diǎn)．測(cè)得圓弧半徑為2L、P₃與P₁間距也為2L，求圖乙中P₁與P₂點(diǎn)的間距a．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)電子在極板D₁、D₂間受到電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件可求出電子運(yùn)動(dòng)速度．
（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向與垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向的分運(yùn)動(dòng)，然后由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式后聯(lián)立求解，從而可以求出電子比荷

e

m

的表達(dá)式．
（3）極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，畫出電子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求解y．

解答：解：（1）電子在極板D₁、D₂間電場(chǎng)力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線運(yùn)動(dòng)，即受力平衡，設(shè)電子的進(jìn)入極板間時(shí)的速度為v．
由平衡條件有：
evB=eE   ①
兩極板間電場(chǎng)強(qiáng)度：
E=

U

d

    ②
解得：
v=

U

Bd

    ③
（2）由幾何關(guān)系得電子射出電場(chǎng)時(shí)豎直方向的側(cè)移量：
y=

L

2

tanθ  ④
根據(jù)牛頓第二定律，有：

eU

d

=ma   ⑤
根據(jù)分位移公式，有：
L=vt   ⑥
y=

1

2

at2   ⑦
又v=

U

Bd

 
聯(lián)立各式得到：

e

m

=

Utanθ

B2dL

     ⑧
（3）如圖所示，極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知r=2L，由幾何關(guān)系得到：α=30°   ⑨
射出磁場(chǎng)后水平方向的距離：
x=

2L-r+ r2-L2

tanα

=3L  （10）
解得：
a=（

L

2

+3L）tanθ=

7Ltanθ

2

  
答：（1）電子射人極板D₁、D₂區(qū)域時(shí)的速度大小為

U

Bd

；
（2）電子比荷

e

m

的表達(dá)式為為

e

m

=

Utanθ

B2dL

；
（3）圖乙中P₁與P₂點(diǎn)的間距a為

7Ltanθ

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是組合場(chǎng)問題：對(duì)速度選擇器，根據(jù)平衡條件研究；對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)的處理，通常采用運(yùn)動(dòng)的分解法律：將運(yùn)動(dòng)分解成相互垂直的兩方向運(yùn)動(dòng)，將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)，并用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來求解．對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)進(jìn)行解題．