Question

【題目】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的上端固定在傾角為30°的光滑斜面頂部，下端栓接小物塊A，A通過一段細(xì)線與小物塊B相連，系統(tǒng)靜止時(shí)B恰位于斜面的中點(diǎn)。將細(xì)線燒斷，發(fā)現(xiàn)當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到斜面底端時(shí)，A剛好第三次到達(dá)最高點(diǎn)。已知B的質(zhì)量m=2kg，彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，斜面長為L=5m，且始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度g=10m/s2。

（1）試證明燒斷細(xì)線后小物塊A做簡諧運(yùn)動(dòng)；

（2）求小物塊A振動(dòng)的振幅A；

（3）求小物塊A振動(dòng)的周期T。

Answer 1

【答案】（1）A受到的合外力總是與物塊的位移成反比,所以A做簡諧振動(dòng)；

（2）

（3）

【解析】

（1）燒斷細(xì)線后A向上運(yùn)動(dòng)，受力平衡時(shí),設(shè)彈簧的伸長量為則：①

選A的平衡位置處為坐標(biāo)原點(diǎn),沿斜面向下為正方向建立坐標(biāo)系,用x表示A離開平衡位置的位移.當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置下x位置時(shí),物塊A受到的合力為：

②

聯(lián)立解得：

則A受到的合外力總是與物塊的位移成反比,所以A做簡諧振動(dòng)

（2）開始時(shí)AB組成的系統(tǒng)靜止時(shí),設(shè)彈簧的伸長量為 ,根據(jù)胡克定律有: ③

解得：

燒斷細(xì)線后A從此位置開始向上運(yùn)動(dòng),到達(dá)平衡位置運(yùn)動(dòng)的距離為物塊A的振幅,則： 代入數(shù)據(jù)得

（3）燒斷細(xì)線后B向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),則:

設(shè)B到達(dá)斜面底端的時(shí)間為t,則:
A向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過周期第一次到達(dá)最高點(diǎn),則第三次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間:
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：