Question

3．如圖所示，豎直平面內(nèi)有足夠長(zhǎng)、不計(jì)電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L(zhǎng)=0.5m，上方連接一個(gè)阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．完全相同的兩根金屬桿M和N靠在導(dǎo)軌上，金屬桿的長(zhǎng)度與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，兩金屬桿的電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿M固定在磁場(chǎng)的上邊緣（仍在此磁場(chǎng)內(nèi)），金屬桿N從磁場(chǎng)邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，g取10m/s²．求：
（1）金屬桿的質(zhì)量m；  
（2）若金屬桿N從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)下落一段距離后做勻速運(yùn)動(dòng)．在金屬桿N加速的過(guò)程中整個(gè)回路產(chǎn)生了1.4J的電熱，此過(guò)程中流過(guò)電阻R的電荷量q；
（3）若金屬桿N仍然從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿N進(jìn)入磁場(chǎng)的同時(shí)釋放金屬桿M，金屬桿M和金屬桿N在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各自的最大速度v₁和 v₂分別是多大．

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，重力與安培力平衡，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，最后有平衡條件求出m．
（2）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，最后由電流的定義式求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動(dòng)，合力等于零時(shí)速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，任何時(shí)刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．

解答 解：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，
進(jìn)入磁場(chǎng)的速度：v_m=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=4m/s，
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)后切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv_m，感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R+2r}$，
金屬桿恰做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：mg=BIL，
解得：m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（R+2r）g}$=0.2kg；
（2）金屬桿2自由下落h₁，進(jìn)入磁場(chǎng)，做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬桿2在磁場(chǎng)內(nèi)下降h₂后達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)，
在加速的過(guò)程中，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能產(chǎn)生電熱，由能量守恒定律得：mg（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q，
解得：h₂=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg}$-h₁=1.3m，
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL{h}_{2}}{△t}$，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R+2r}$，
流過(guò)電阻的電量：q=I△t=$\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=0.65C；
（3）金屬桿2剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2m/s，
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)同時(shí)釋放金屬桿1后，回路中有感應(yīng)電流，
兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運(yùn)動(dòng)，
隨速度增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時(shí)，速度達(dá)到最大．
金屬桿1和2產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
感應(yīng)電流為：I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{R+2r}$，
達(dá)到最大速度時(shí)桿的重力等于安培力：mg=BIL
整理得到：v₁+v₂=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=4m/s…①
因?yàn)閮蓚�(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，因此任何時(shí)刻兩者的加速度也都相同，
在相同時(shí)間內(nèi)速度的增量也必相同，即：v₁-0=v₂-v，
代入數(shù)據(jù)得v₂=v₁+2…②
①②兩式聯(lián)立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s            
答：（1）金屬桿的質(zhì)量m為0.2kg．
（2）流過(guò)電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，第3問(wèn)關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時(shí)刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．