Question

【題目】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動到C處后又正好落回A點(diǎn)．試求：

（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到C處時(shí)的速度大�。�
（2）推力對小球所做的功．
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動推力所做的功最��？最小功為多少．

Answer 1

【答案】
（1）

解：質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為vC，

質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則

在水平方向：x=vCt ①

豎直方向上：2R= gt2 ②

解①②有：vC= ③

（2）

解：對質(zhì)點(diǎn)從A到C，由動能定理有：WF﹣mg2R= mvC2﹣0 ④

解得：WF= ⑤

（3）

解：要使F力做功最少，確定x的取值，由④式得 WF=mg2R+ mvC2﹣0，

則知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功WF就最�。�

若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，

由牛頓第二定律有：mg=m ，解得：v= ⑥

由③⑥有 = ，解得x=2R時(shí)，WF最小，最小的功WF=mg2R++ mvC2= mgR

【解析】（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大��；（2）選取從A到C過程，由動能定理可求出推力對小球所做的功．（3）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度，然后求出最小功．