Question

16．2016年2月11日，美國(guó)科學(xué)家宣布探測(cè)到引力波，證實(shí)了愛(ài)因斯坦100年前的預(yù)言，彌補(bǔ)了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論中最后一塊缺失的“拼圖”，其實(shí)，孤立的恒星與一顆行星組成的系統(tǒng)就是一個(gè)雙星系統(tǒng)．如圖所示，恒星a、恒星b在萬(wàn)有引力作用下，繞連線上一點(diǎn)O以相同的周期做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得行星b圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r_b，運(yùn)動(dòng)周期為T，a、b的距離為l，已知萬(wàn)有引力常量為G，則（　�。�

• A． 恒星a的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{r}_}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 恒星a與行星b的總質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 恒星a與行星b的質(zhì)量之比為$\frac{l-{r}_}{{r}_}$
• D． 恒星a的運(yùn)動(dòng)可以等效于靜止在O點(diǎn)，質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{r}_}^{3}}{G{T}^{2}}$的天體做半徑為（l-r_b）的圓周運(yùn)動(dòng)

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等．

解答 解：ABC、由題意可知，a和b到O點(diǎn)的距離分別為$（l-{r}_^{\;}）$和${r}_^{\;}$，設(shè)兩星質(zhì)量分別為${M}_{1}^{\;}$和${M}_{2}^{\;}$，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得：
對(duì)${M}_{1}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{1}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）$，即：${M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）}{G{T}_{\;}^{2}}$
對(duì)${M}_{2}^{\;}$：$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={M}_{2}^{\;}（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}{r}_^{\;}$，即：${M}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{r}_^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}$
兩式相加得${M}_{1}^{\;}+{M}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_^{\;}+{r}_^{\;}）$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
恒星a與b的質(zhì)量之比為$\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_^{\;}}{l-{r}_^{\;}}$，故AC錯(cuò)誤，B正確；
D、將該系統(tǒng)等效成中心天體和環(huán)繞天體，再根據(jù)${F}_{引}^{\;}$=${F}_{向}^{\;}$，即$G\frac{Mm}{（l-{r}_^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（l-{r}_^{\;}）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（l-{r}_^{\;}）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力中的雙星模型以及萬(wàn)有引力公式中各物理量得物理意義．學(xué)生對(duì)萬(wàn)有引力公式和向心力公式中R的物理意義分不清，找不到雙星模型的特點(diǎn)，找不到它們之間相等的物理量．