Question

6．太陽(yáng)現(xiàn)正處于主序星演化階段．它主要是由電子和${\;}_{1}^{1}$H、${\;}_{2}^{4}$He等原子核組成．維持太陽(yáng)輻射的是它內(nèi)部的核聚變反應(yīng)，核反應(yīng)方程是2e+4${\;}_{1}^{1}$H→${\;}_{2}^{4}$He+釋放的核能，這些核能最后轉(zhuǎn)化為輻射能．根據(jù)目前關(guān)于恒星演化的理論，若由于聚變反應(yīng)而使太陽(yáng)中的${\;}_{1}^{1}$H核數(shù)目從現(xiàn)有數(shù)減少10%，太陽(yáng)將離開(kāi)主序星階段而轉(zhuǎn)入紅巨星的演化階段．為了簡(jiǎn)化，假定目前太陽(yáng)全部由電子和${\;}_{1}^{1}$H核組成．
（1）為了研究太陽(yáng)演化進(jìn)程，需知道目前太陽(yáng)的質(zhì)量M．已知地球半徑R=6.4×10⁶m，地球質(zhì)量m=6.0×10²⁴kg，日地中心的距離r=1.5×10¹¹m，地球表面處的重力加速度 g=10m/s²，1年約為3.2×10⁷ 秒，利用所給的數(shù)據(jù)試估算目前太陽(yáng)的質(zhì)量M．
（2）已知質(zhì)子質(zhì)量m_p=1.6726×10^-27kg，${\;}_{2}^{4}$He質(zhì)量m_α=6.6458×10^-27kg，電子質(zhì)量m_e=0.9×10^-30kg，光速c=3×10⁸ m/s．求每發(fā)生一次題中所述的核聚變反應(yīng)所釋放的核能．
（3）又知地球上與太陽(yáng)垂直的每平方米截面上，每秒通過(guò)的太陽(yáng)輻射能E₀=1.35×10³W/m²．試估算太陽(yáng)繼續(xù)保持在主序星階段還有多少年的壽命．（估算結(jié)果只要求一位有效數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩個(gè)理論，聯(lián)立解出太陽(yáng)的質(zhì)量．
（2）根據(jù)愛(ài)因斯坦質(zhì)能方程求出每發(fā)生一次題中所述的核聚變反應(yīng)所釋放的核能．
（3）計(jì)算核聚變反應(yīng)的次數(shù)和太陽(yáng)輻射的總能量，求出每秒太陽(yáng)輻射的總能量，進(jìn)而求得太陽(yáng)的壽命

解答 解：（1）估算太陽(yáng)的質(zhì)量M
設(shè)T為地球繞日心運(yùn)動(dòng)的周期，則由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律可知
 $G\frac{mM}{{r}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$                                  
地球表面處的重力加速度   $g=G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$  
$M=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}\frac{{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}g}$                                                                                   
以題給數(shù)值代入，得 M=2×10³⁰ kg                                    
（2）根據(jù)質(zhì)量虧損和質(zhì)能公式，該核反應(yīng)每發(fā)生一次釋放的核能為
△E=（4m_p+2m_e-m_α）c²                                               
代入數(shù)值，得
△E=4.2×10^-12 J                                            
（3）根據(jù)題給假設(shè)，在太陽(yáng)繼續(xù)保持在主序星階段的時(shí)間內(nèi)，發(fā)生題中所述的核聚變反應(yīng)的次數(shù)為   
$N=\frac{M}{4{m}_{p}^{\;}}×10%$                                        
因此，太陽(yáng)總共輻射出的能量為
E=N•△E                                                  
設(shè)太陽(yáng)輻射是各向同性的，則每秒內(nèi)太陽(yáng)向外放出的輻射能為
ε=4πr²E₀                                                    
所以太陽(yáng)繼續(xù)保持在主星序的時(shí)間為 
$t=\frac{E}{?}$                                                       
由以上各式解得
t=1×10¹⁰年
答：（1）太陽(yáng)的質(zhì)量為 $2×1{0}_{\;}^{30}kg$ 
（2）每發(fā)生一次題中所述的核聚變反應(yīng)所釋放的核能 $4.2×1{0}_{\;}^{-12}J$         
（3）太陽(yáng)繼續(xù)保持在主序星階段還有$1×1{0}_{\;}^{10}$年的壽命

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力兩個(gè)理論，以及愛(ài)因斯坦質(zhì)能方程等知識(shí)，難度中等，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．