Question

（2007?佛山二模）我國(guó)通信衛(wèi)星的研制始于70年代331衛(wèi)星通信工程的實(shí)施，到1984年4月，我國(guó)第一顆同步通信衛(wèi)星發(fā)射成功并投入使用，標(biāo)志著我國(guó)通信衛(wèi)星從研制轉(zhuǎn)入實(shí)用階段．現(xiàn)正在逐步建立同步衛(wèi)星與“伽利略計(jì)劃”等中低軌道衛(wèi)星等構(gòu)成的衛(wèi)星通信系統(tǒng)．
（1）若已知地球的平均半徑為R₀，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)₀，地表的重力加速度為g，試求同步衛(wèi)星的軌道半徑R；
（2）有一顆與上述同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星，自西向東繞地球運(yùn)行，其運(yùn)行半徑為同步軌道半徑R的四分之一，試求該衛(wèi)星的周期T是多少？該衛(wèi)星至少每隔多長(zhǎng)時(shí)間才在同一城市的正上方出現(xiàn)一次．（計(jì)算結(jié)果只能用題中已知物理量的字母表示）

Answer 1

分析：（1）同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力求出同步衛(wèi)星的軌道半徑．
（2）通過(guò)萬(wàn)有引力提供向心力求出周期與軌道半徑的關(guān)系，從而求出低軌道衛(wèi)星的周期．抓住轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角關(guān)系求出在同一城市的正上方出現(xiàn)的最小時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，因?yàn)樾l(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，故
G

Mm

R2

=mR(

2π

T

)2①
同步衛(wèi)星T=T₀②
而在地表面mg=G

Mm

R02

③
由①②③式解得：R=

3	gR02T02 4π2

．
（2）由①式可知T²∝R³，
設(shè)低軌道衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T(mén)′，則

T′2

T2

=

( R 4 )3

R3

因而T′=

T0

8

設(shè)衛(wèi)星至少每隔t時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)角速度與所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的關(guān)系θ=ωt得：

2π

T′

t=2π+

2π

T0

t
解得：t=

T0

7

，即衛(wèi)星至少每隔

T0

7

時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次．
答：（1）同步衛(wèi)星的軌道半徑R=

3	gR02T02 4π2

．
（2）該衛(wèi)星的周期T為

T0

8

，衛(wèi)星至少每隔

T0

7

時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩大理論，知道同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)的周期相等．