Question

（2009?上海模擬）如圖所示，一平放在光滑水平面上的矩形導(dǎo)體框位于勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向沿豎直方向，現(xiàn)以恒定速度v將線框拉出有界的磁場(chǎng)區(qū)域．設(shè)磁場(chǎng)的邊界與線框的一邊平行，且線框的總電阻為R，周長(zhǎng)為2l，而其長(zhǎng)、寬則可以變化，則外力將線框拉出磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，線框發(fā)熱量的最大值為（　�。�

• A．

  B2l3v

  8R

• B．

  4B2l3v

  27R

• C．

  6B2l3v

  27R

• D．以上答案都不對(duì)

Answer 1

分析：設(shè)ab的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由E=BLv求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)焦耳定律得到熱量與L的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解熱量的最大值．

解答：解：設(shè)ab的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則ad長(zhǎng)度為

1

2

（2l-2L）=l-L．①
外力將線框拉出磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv
產(chǎn)生的熱量為Q=

E2

R

t=

(BLv)2

R

?

l-L

v

=

B2v

R

L2(l-L) ②
設(shè)y=L²（l-L） ③
則由數(shù)學(xué)知識(shí)得y的導(dǎo)數(shù)為 y′=2lL-3L²，④
當(dāng)y′=0時(shí)，y有最大值，此時(shí)L=

2

3

l，Q也有最大值，
將時(shí)L=

2

3

l代入②得：Q的最大值為Q_max=

4B2l3v

27R

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式和焦耳定律推導(dǎo)出熱量與L的關(guān)系式是關(guān)鍵，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解最大值，是常用的函數(shù)法．