Question

1．如圖所示，一質量為M=5.0kg的平板車靜止在光滑水平地面上，其右側足夠遠處有一固定障礙物A，障礙物A與平板車的上表面等高．不計A的厚度．另一質量為m=l.0kg可視為質點的滑塊，以v₀=8m/s的水平初速度從左端滑上平板車，同時對平板車施加一水平向右、大小為10N的恒力F．當滑塊運動到平板車的最右端時，兩者恰好相對靜止．此時撤去恒力F．當平板車碰到障礙物A時立即停止運動，滑塊水平飛離平板車后，恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點切入光滑豎直圓弧軌道，B、D與地面等高，并沿軌道下滑，已知滑塊與平板車間的動摩擦因數μ=0.5，圓弧半徑為R=1.0m，圓弧所對的圓心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）障礙物A與圓弧左端B的水平距離．
（2）滑塊運動圓弧軌道最低點C時對軌道壓力的大�。�
（3）滑塊與平板車因摩擦產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）對滑塊和小車分別受力分析，由牛頓第二定律可以求得兩者的加速度大小，根據勻變速直線運動的速度時間公式求出從開始到兩者共速的時間，并求出共同速度，即為滑塊飛離平板車做平拋運動的初速度．根據滑塊到達B點時速度的方向，求到達B點的豎直分速度，求出平拋的時間，從而可求得障礙物A與圓弧左端B的水平距離．
（2）滑塊從B到C的過程中，機械能守恒，由機械能守恒定律求出C點的速度，再根據向心力的公式可以求得在C點時滑塊受到的支持力的大小，再由牛頓第三定律可得滑塊對軌道的壓力．
（3）由運動學公式求出滑塊與平板車的相對位移，從而求得摩擦生熱．

解答 解：（1）滑塊做平板車上滑行時，由牛頓第二定律得：
對滑塊有：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
對平板車有：a₂=$\frac{F+μmg}{M}$=3m/s²．
設經過時間t₁，滑塊與平板車相對靜止，共同速度為υ，
則 υ=υ₀-a₁t₁=a₂t₁
解得 t₁=1s，υ=3m/s
滑塊到達B點時速度沿圓弧的切線方向，即與水平方向的夾角為53°
則經過B點時豎直分速度為 v_y=vtan53°=4m/s
又由平拋運動的規(guī)律有 v_y=gt
得 t=0.4s
所以障礙物A與圓弧左端B的水平距離 x=vt=1.2m
（2）在B點的速度的大小為 υ_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由B到C過程中，由機械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgR（1-cos53°）
在C點處，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由以上式子解得：N=43N，
由牛頓第三定律得滑塊對軌道的壓力為43N．
（3）滑塊做平板車上滑行的過程中，滑塊的位移 x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{3}^{2}-{8}^{2}}{-2×5}$=5.5m
平板車的位移 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{3}^{2}}{2×3}$=1.5m
兩者的相對位移大小△x=x₁-x₂=4m
所以滑塊與平板車因摩擦產生的熱量 Q=μmg△x=20J．
答：
（1）障礙物A與圓弧左端B的水平距離是1.2m．
（2）滑塊運動圓弧軌道最低點C時對軌道壓力的大小是43N．
（3）滑塊與平板車因摩擦產生的熱量是20J．

點評 本題要分析清楚滑塊在每個過程的運動狀態(tài)，根據物體的運動過程來逐段研究．要把握隱含的條件，如滑塊到達B點時速度的方向，要注意摩擦生熱與相對位移有關．